ТОЭ, ТЭМП, Шмелёв, Сбитнев, 2003 г. / Глава4

для постановки скалярной краевой задачи магнитостатики. Уравнение (1) дополняется следующими граничными условиями:

φH = поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г1; Bn = поверхностное распределение – на части граничной поверхности Г2; Г = Г1 + Г2 – замкнутая граничная поверхность.

Уравнение (1) особенно удобно применять, когда источниками магнитного поля в расчетной области являются ненулевые граничные условия и остаточная магнитная индукция постоянных магнитов. В этом случае Mф = 0. Если внутри расчетной области источники поля отсутствуют, то уравнение (1) приобретает вид

Если внутри расчетной области однородная по магнитным свойствам среда, то уравнение (2) сводится к уравнению Лапласа

2ϕH = 0

Уравнение (2) можно применять для анализа магнитостатических полей, вызванных электрическими токами, в областях, где эти токи отсутствуют, поскольку там rot H = 0 и H = – grad φH. В этом случае при анализе может сказываться неоднозначность скалярного магнитного потенциала, связанная с ненулевым значением циркуляции вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура, охватывающего электрический ток. Магнитное напряжение между двумя точками зависит от пути интегрирования напряженности магнитного поля

B

UMAB = ∫ Hdl = φHA – φHB + nI,

A

здесь n – целое любое число.

Фиктивная намагниченность среды в уравнении (1) вводится для преодоления проблемы неоднозначности скалярного магнитного потенциала.

74

В частных случаях на каждый замкнутый контур, образуемый каждым током, натягивается тонкая непроницаемая перегородка, на которой поверхностно распределен магнитный диполь и на которой скалярный магнитный потенциал изменяется скачком. Если по контуру протекает ток I, то скачок потенциала на соответствующей перегородке равен

∫ Hdl = I.

Магнитное экранирование

Магнитные экраны представляют собой полые изделия из ферромагнитного материала, предназначенные для защиты некоторой области пространства от воздействия внешнего магнитного поля. Материал экрана выполняет роль магнитного шунта, уменьшающего магнитное напряжение между точками внутри полости. В результате шунтирующего действия магнитного материала напряженность магнитного поля внутри полости уменьшается по сравнению с напряженностью вне полости.

Отношение |H0|/|H1| называют коэффициентом эффективности экранирования. Здесь H0 – напряженность вне экрана; H1 – напряженность внутри полости экрана. Расчет коэффициента эффективности экранирования для реальной конструкции экрана производится путем анализа магнитостатического поля с помощью дифференциальных или интегральных уравнений.

Пространственные интегральные уравнения в магнитостатике

Распределение напряженности магнитного поля в вакууме, вызванное совместным действием электрических токов и объемно распределенных магнитных диполей определяется следующим интегральным соотношением

75

H = ∫ (δ×R)/(4πR3)dV + 1/(4π) ∫ (3(MR)R/R5 – M/ R3)dV = И1(δ) + И2(M)

Магнитные свойства вещества могут описываться характеристиками M = f(H), поэтому пространственное интегральное уравнение магнитостатики имеет вид

Уравнение (3) решается относительно вектора намагниченности, поэтому расчетной областью при его решении является объем VM, занятый ферромагнитными материалами. Вычислительные методы, основанные на решении уравнения (3), называются методами пространственных интегральных уравнений (ПрИУ). Во многих случаях эти методы оказываются более экономичными, чем дифференциальные методы, основанные на уравнении (1) или на векторном уравнении магнитостатики.

Контрольные вопросы

1.На каких соотношениях основано введение в расчёты скалярного магнитного потенциала?

2.Какой вид имеет уравнение магнитостатики относительно скалярного магнитного потенциала? Какими граничными условиями оно дополняется при формулировании краевой задачи?

3.С чем связана проблема неоднозначности скалярного магнитного потенциала?

4.На каком принципе основано действие магнитных экранов?

5.Что называют коэффициентом эффективности экранирования магнитного поля?

6.Какой вид имеют пространственные интегральные уравнения магнитостатики?

76

§ 4.5. Мощность, передаваемая по двухпроводной линии постоянного тока

Пусть имеется двухпроводная линия с проводами произвольного сечения. По линии протекает постоянный ток I. Потенциалы проводов φ1 и φ2

(рис. 6).

Рис. 6.

Плотность потока электромагнитной мощности в точке Q: П(Q) = E(Q)×H(Q) (в данной системе Eс = 0)

Мощность, передаваемая по двухпроводной линии, равна потоку вектора Пойнтинга через плоскость поперечного сечения S

При бесконечном удалении точки наблюдения от проводов φ – бесконечно малая величина 1-го порядка, H – бесконечно малая величина 2-го порядка, длина контура интегрирования – бесконечно большая величина

77

1-го порядка. Следовательно, первый криволинейный интеграл – бесконечно малая величина 2-го порядка, т.е. он равен нулю, значит

P = ∫ φδпрdS = φ1 ∫ δпрdS + φ2 ∫ δпрdS = φ1I – φ2I =(φ1 – φ2)I = UI

Контрольные вопросы

1.Чему равна мощность, передаваемая по двухпроводной линии постоянного тока?

2.Как следует соотношение для передаваемой мощности из теоремы Умова–Пойнтинга?

______________________________________

78