Лекции по теории разностных схем

ТЕОРИЯ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ

С.Г.Танкеев

1. Разностные методы решения задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши

(

dxdt = f(t; x(t)); x(t0) = x0:

Если f(t; x) и @f@x непрерывны в некотором открытом круге с центром (t0; x0), то из курса теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что в некотором открытом интервале с центром t0 существует единственное решение x(t) задачи Коши. Будем предполагать в дальнейшем, что условия теоремы существования и единственности выполнены.

Очевидно, что

где > 0 - шаг по времени t.

Метод Эйлера приближенного решения задачи Коши основан на том, что задачу Коши мы заменим на разностную задачу

(

x(t+ ) x(t) = f(t; x(t));

x(t0) = x0:

Тогда

(

x(t + ) = x(t) + f(t; x(t)); x(t0) = x0:

Эта разностная схема позволяет последовательно вычислить x(t0 + ); x(t0 + 2 ); : : : ; x(t0 + N ). Ошибка оценивается как

jxзадача Коши(t0 + N ) xразностная задача(t0 + N )j CN ;

где C – некоторая константа, зависящая от f; t0; x0.

Если N достаточно большое, то ошибка также может быть большой. Коши предложил модифицировать разностную задачу, рассматривая вместо формулы Эйлера формулу Эйлера - Коши:

(

x(t + ) = x(t) + 12 [f(t; x(t)) + f(t + ; x(t) + f(t; x(t)))];

x(t0) = x0:

В этом случае ошибка оценивается как

2 С.Г.ТАНКЕЕВ

jxзадача Коши(t0 + N ) xразностная задача Эйлера - Коши(t0 + N )j CN 3;

где C – некоторая константа, зависящая от f; t0; x0. При больших значениях N ошибка остается малой при малых значениях параметра .

Метод Эйлера - Коши позволяет решать задачу Коши на компьютере со сколь угодно высокой точностью.

Аналогично решается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

>

>

>

>

>

>

:y(t0) = y0:

Рассмотрим, наконец, задачу Коши

8

>x00 = f(t; x(t); x0(t));

<

x(t0) = x0;

>

:x0(t0) = x00:

Положим x0(t) = y(t). Тогда исходная задача Коши сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений

8dx = y(t);

>>dt

<

>dy = f(t; x(t); y(t));

dt

>>x(t0) = x0;

>

:y(t0) = x00:

Формулы разностной задачи имеют в этом случае вид

>

>

>

>

>

:

Окончательно получаем следующие формулы разностной задачи:

>

>

>

>

>

:

Ошибка метода по-прежнему оценивается как

jxзадача Коши(t0 + N ) xразностная задача Эйлера - Коши(t0 + N )j CN 3:

Известно, что многие задачи классической механики сводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, что позволяет применять разностный метод для их решения.

Решение задач

i) Функция et является решением задачи Коши

(

dxdt = x;

x(0) = 1:

Мы хотим вычислить число e = x(1) различными методами. Напомним прежде всего, что

e = 2:718281828459045 = lim 1 + 1 n :

n!1 n

Воспользуемся сначала методом Эйлера. Разностная схема имеет вид

(

x(t + ) = x(t) + x(t) = x(t)(1 + ); x(0) = 1:

Поэтому x(n ) = (1 + )n.

Полагая = 0:1 и n = 10, получим равенство x(1) = 2:59374246...

Полагая = 0:01 и n = 100, получим равенство x(1) = 2:704813829...

Полагая = 0:001 и n = 1000, получим равенство x(1) = 2:716923932...

Рассмотрим теперь разностную схему Эйлера - Коши

(

x(t + ) = x(t) + 12 [x(t) + x(t) + x(t)] = x(t) 1 + + 22 ; x(0) = 1:

Очевидно, что

2 n x(n ) = 1 + + 2 :

Полагая = 0:1 и n = 10, получим равенства x(1) = (1:105)10 = 2:714080847...

Полагая = 0:01 и n = 100, получим равенства x(1) = (1:01005)100 = 2:718236863...

Полагая = 0:001 и n = 1000, получим равенства x(1) = (1:0010005)1000

=2:718281376...

ii)Функция sin t является решением задачи Коши

3:3 0:029 0:488

2. Вычисление определенных интегралов по отрезку

Пусть f(t) – непрерывная функция на отрезке [a; b]. Согласно формуле Ньютона - Лейбница имеем:

Z b

f(t)dt = (b) (a);

a

где (t) = Rat f(t)dt – первообразная функции f(t). Эта первообразная является решением задачи Коши

(

dxdt = f(t); x(a) = 0:

Формула Эйлера - Коши имеет вид

(

x(t + ) = x(t) + 12 [f(t) + f(t + )]; x(a) = 0:

Она позволяет вычислить x(a+N ) с достаточно высокой точностью. Если параметрвыбран так, что a + N = b, то имеем с точностью до CN 3:

Z b

f(t)dt x(a + N ):

a

Таким образом сложный вопрос о вычислении определенных интегралов легко решается методом разностных схем.

3. Уравнение распространения тепла в однородном стержне

Рассмотрим однородный стержень длины l. Будем предполагать, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и что во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова. Расположим ось x так, что левый конец стержня совпадает с точкой 0, а правый конец совпадает с точкой l. Пусть u(x; t) – температура в точках с абсциссой x в момент времени t. Из опыта следует, что количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой x в единицу времени, определяется

формулой

q = k @u@xS;

где S – площадь поперечного сечения, k – коэффициент теплопроводности. Рассмотрим элемент стержня, заключенный между сечениями с абсциссами x и

x + x. Количество тепла, прошедшего через сечение с абсциссой x за время t,

равно

Qx = k @u(x; t)S t; @x

а для сечения с абсциссой x + x имеем:

Qx+ x = k @u(x + x; t)S t: @x

Приток тепла Qx Qx+ x в элемент стержня за время t равен

Этот приток тепла за время t затратился на повышение температуры элемента стержня на величину u:

@uQx Qx+ x = c xS u c xS @t t;

где c – теплоемкость вещества стержня, – плотность вещества стержня (так что c xS – масса элемента стержня). В результате мы имеем равенство

Поэтому

Обозначим через a2 = k=(c ) коэффициент температуропроводности. Тогда уравнение (3:1) принимает вид

и называется уравнением теплопроводности.

Аналогично доказывается, что уравнение распространения тепла в однородном

4. Явная разностная схема решения первой краевой задачи для уравнения теплопроводности на отрезке

Рассмотрим первую краевую задачу

>

>

:

где '(x) задает начальное распределение температуры в стержне, 1(t) и 2(t) – это значения температуры на концах стержня в момент времени t (например, эти значения могут сниматься с датчиков, расположенных в концах стержня). Наша задача состоит в вычислении температуры в любой момент времени t в любой точке с абсциссой x.

Фиксируем шаг > 0 по оси времени t и шаг h > 0 по оси x. Заметим, что

>

>

:

Очевидно,

hi

>

>

>

:

Можно доказать, что эта разностная схема дает хорошее приближение к решению краевой задачи, если выполнено условие устойчивости: