Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
kontrolnaya.docx
Скачиваний:
31
Добавлен:
21.03.2015
Размер:
155.49 Кб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»

(ВлГУ)

кафедра «Функциональный Анализ и его Приложения»

Контрольная работа

по дисциплине: Исследования операций в экономике.

Вариант 9

Выполнила:

Сапожкова Д. В.

Группа: ЗЭКсд-112

Принял:

Беспалов М.С.

Владимир – 2013г.

Задача 1. Решить задачу линейного программирования.

при условиях

.

Решение

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Поскольку в правой части присутствуют отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1).

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = x1 + 3x3 при следующих условиях-ограничений.

x1 + x2 + x3=11

2x1 - 3x2 - x4=1

x1 - x2 - x5=3

Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x6; в 2-м равенстве вводим переменную x7; в 3-м равенстве вводим переменную x8;

1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 = 11

2x1-3x2 + 0x3-1x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 + 0x8 = 1

1x1-1x2 + 0x3 + 0x4-1x5 + 0x6 + 0x7 + 1x8 = 3

Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:

F(X) = x1+3x3 - Mx6 - Mx7 - Mx8 → max

Из уравнений выражаем искусственные переменные:

x6 = 11-x1-x2-x3

x7 = 1-2x1+3x2+x4

x8 = 3-x1+x2+x5

которые подставим в целевую функцию:

F(X) = (1+4M)x1+(-3M)x2+(3+M)x3+(-M)x4+(-M)x5+(-15M) → max

Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:

1

1

1

0

0

1

0

0

2

-3

0

-1

0

0

1

0

1

-1

0

0

-1

0

0

1

Решим систему уравнений относительно базисных переменных:

x6, x7, x8,

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

X1 = (0,0,0,0,0,11,1,3)

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x6

11

1

1

1

0

0

1

0

0

x7

1

2

-3

0

-1

0

0

1

0

x8

3

1

-1

0

0

-1

0

0

1

F(X0)

-15M

-1-4M

3M

-3-M

M

M

0

0

0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.

Итерация №0.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

min

x6

11

1

1

1

0

0

1

0

0

11

x7

1

2

-3

0

-1

0

0

1

0

1/2

x8

3

1

-1

0

0

-1

0

0

1

3

F(X1)

-15M

-1-4M

3M

-3-M

M

M

0

0

0

0

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x6

101/2

0

21/2

1

1/2

0

1

-1/2

0

x1

1/2

1

-11/2

0

-1/2

0

0

1/2

0

x8

21/2

0

1/2

0

1/2

-1

0

-1/2

1

F(X1)

1/2-13M

0

-11/2-3M

-3-M

-1/2-M

M

0

1/2+2M

0

Итерация №1.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (21/2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

min

x6

101/2

0

21/2

1

1/2

0

1

-1/2

0

41/5

x1

1/2

1

-11/2

0

-1/2

0

0

1/2

0

-

x8

21/2

0

1/2

0

1/2

-1

0

-1/2

1

5

F(X2)

1/2-13M

0

-11/2-3M

-3-M

-1/2-M

M

0

1/2+2M

0

0

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x2

41/5

0

1

2/5

1/5

0

2/5

-1/5

0

x1

64/5

1

0

3/5

-1/5

0

3/5

1/5

0

x8

2/5

0

0

-1/5

2/5

-1

-1/5

-2/5

1

F(X2)

64/5-2/5M

0

0

-22/5+M

-1/5-2/5M

M

3/5+11/5M

1/5+12/5M

0

Итерация №2.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x4, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai4

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 3-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (2/5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

min

x2

41/5

0

1

2/5

1/5

0

2/5

-1/5

0

21

x1

64/5

1

0

3/5

-1/5

0

3/5

1/5

0

-

x8

2/5

0

0

-1/5

2/5

-1

-1/5

-2/5

1

1

F(X3)

64/5-2/5M

0

0

-22/5+M

-1/5-2/5M

M

3/5+11/5M

1/5+12/5M

0

0

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x2

4

0

1

1/2

0

1/2

1/2

0

-1/2

x1

7

1

0

1/2

0

-1/2

1/2

0

1/2

x4

1

0

0

-1/2

1

-21/2

-1/2

-1

21/2

F(X3)

7

0

0

-21/2

0

-1/2

1/2+M

M

1/2+M

Итерация №3.

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3

и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (1/2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

min

x2

4

0

1

1/2

0

1/2

1/2

0

-1/2

8

x1

7

1

0

1/2

0

-1/2

1/2

0

1/2

14

x4

1

0

0

-1/2

1

-21/2

-1/2

-1

21/2

-

F(X4)

7

0

0

-21/2

0

-1/2

1/2+M

M

1/2+M

0

Получаем новую симплекс-таблицу:

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x3

8

0

2

1

0

1

1

0

-1

x1

3

1

-1

0

0

-1

0

0

1

x4

5

0

1

0

1

-2

0

-1

2

F(X4)

27

0

5

0

0

2

3+M

M

-2+M

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план

Окончательный вариант симплекс-таблицы:

Базис

B

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x3

8

0

2

1

0

1

1

0

-1

x1

3

1

-1

0

0

-1

0

0

1

x4

5

0

1

0

1

-2

0

-1

2

F(X5)

27

0

5

0

0

2

3+M

M

-2+M

Оптимальный план можно записать так:

x3 = 8

x1 = 3

x4 = 5

x2 = 0

x5 = 0

F(X) = 3•8 + 1•3 + 0•5 = 27

Задача 2. Сформулировать двойственную задачу к задаче 1 и решить ее.

Решение

Составим двойственную задачу к прямой задаче.

y1 + 2y2 - y3≥1

y1 - 3y2 + y3≥0

y1≥3

- y2≥0

y3≥0

11y1 + y2 - 3y3 → min

Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.

Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1.

Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим:

Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.

Тогда Y = C*A-1 =

Оптимальный план двойственной задачи равен:

y1 = 3

y2 = 0

y3 = 2

Z(Y) = 11*3+1*0+-3*2 = 27

Задача 3. Решить задачу линейного программирования двумя методами:

графически в трехмерном пространстве и симплекс-методом.

при условиях

Решение

Запишем задачу в виде основной задачи линейного программирования

Решим задачу симплексным методом

- базисные переменные

- свободные переменные

начальное решение (0; 0; 0; 20; 30).

Б

З

х1

х2

х3

х4

х5

х4

20

2

5

4

1

0

х5

30

4

3

5

0

1

f

0

-6

-2

-3

0

0

Поскольку в f-ой строке есть отрицательные элементы, то начальное решение не оптимально. Выбираем первый столбец в качестве ведущего. х1 перейдёт в базис - покинет базис.

Б

З

х1

х2

х3

х4

х5

х4

5

0

7/2

3/2

1

-1/2

х1

15/2

1

3/4

5/4

0

1/4

f

45

0

5/2

9/2

0

3/2

Поскольку в f-ой строке нет отрицательных элементов, то решение оптимально.

Получаем следующий план:

z=x3 = 0

x=x1 = 7.5

y=x2 = 0

f = 6•7.5 + 2•0 + 3•0 = 45

Задача 4. Решить транспортную задачу, для которой задана матрица стоимостей перевозок с указанными запасами и потребностями. Предварительно выяснить -- открытой или закрытой является задача.

Указание. Начальный план выбираем по методу северо-западного угла или минимальной стоимости. Оптимизацию следует проводить методом потенциалов.

В1

В2

В3

В4

запасы

А1

5

3

2

3

100

А2

3

5

4

3

200

А3

4

2

3

7

150

А4

8

6

7

2

150

потребности

170

80

140

190

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]