Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»
(ВлГУ)
кафедра «Функциональный Анализ и его Приложения»
Контрольная работа
по дисциплине: Исследования операций в экономике.
Вариант 9
Выполнила:
Сапожкова Д. В.
Группа: ЗЭКсд-112
Принял:
Беспалов М.С.
Владимир – 2013г.
Задача 1. Решить задачу линейного программирования.
при условиях
.
Решение
Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Поскольку в правой части присутствуют отрицательные значения, умножим соответствующие строки на (-1).
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = x1 + 3x3 при следующих условиях-ограничений.
x1 + x2 + x3=11
2x1 - 3x2 - x4=1
x1 - x2 - x5=3
Введем искусственные переменные x: в 1-м равенстве вводим переменную x6; в 2-м равенстве вводим переменную x7; в 3-м равенстве вводим переменную x8;
1x1 + 1x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 + 1x6 + 0x7 + 0x8 = 11
2x1-3x2 + 0x3-1x4 + 0x5 + 0x6 + 1x7 + 0x8 = 1
1x1-1x2 + 0x3 + 0x4-1x5 + 0x6 + 0x7 + 1x8 = 3
Для постановки задачи на максимум целевую функцию запишем так:
F(X) = x1+3x3 - Mx6 - Mx7 - Mx8 → max
Из уравнений выражаем искусственные переменные:
x6 = 11-x1-x2-x3
x7 = 1-2x1+3x2+x4
x8 = 3-x1+x2+x5
которые подставим в целевую функцию:
F(X) = (1+4M)x1+(-3M)x2+(3+M)x3+(-M)x4+(-M)x5+(-15M) → max
Матрица коэффициентов A = a(ij) этой системы уравнений имеет вид:
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
-3 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
Решим систему уравнений относительно базисных переменных:
x6, x7, x8,
Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:
X1 = (0,0,0,0,0,11,1,3)
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x6 |
11 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
x7 |
1 |
2 |
-3 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
x8 |
3 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
F(X0) |
-15M |
-1-4M |
3M |
-3-M |
M |
M |
0 |
0 |
0 |
Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
min |
x6 |
11 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
11 |
x7 |
1 |
2 |
-3 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1/2 |
x8 |
3 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
3 |
F(X1) |
-15M |
-1-4M |
3M |
-3-M |
M |
M |
0 |
0 |
0 |
0 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x6 |
101/2 |
0 |
21/2 |
1 |
1/2 |
0 |
1 |
-1/2 |
0 |
x1 |
1/2 |
1 |
-11/2 |
0 |
-1/2 |
0 |
0 |
1/2 |
0 |
x8 |
21/2 |
0 |
1/2 |
0 |
1/2 |
-1 |
0 |
-1/2 |
1 |
F(X1) |
1/2-13M |
0 |
-11/2-3M |
-3-M |
-1/2-M |
M |
0 |
1/2+2M |
0 |
Итерация №1.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (21/2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
min |
x6 |
101/2 |
0 |
21/2 |
1 |
1/2 |
0 |
1 |
-1/2 |
0 |
41/5 |
x1 |
1/2 |
1 |
-11/2 |
0 |
-1/2 |
0 |
0 |
1/2 |
0 |
- |
x8 |
21/2 |
0 |
1/2 |
0 |
1/2 |
-1 |
0 |
-1/2 |
1 |
5 |
F(X2) |
1/2-13M |
0 |
-11/2-3M |
-3-M |
-1/2-M |
M |
0 |
1/2+2M |
0 |
0 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x2 |
41/5 |
0 |
1 |
2/5 |
1/5 |
0 |
2/5 |
-1/5 |
0 |
x1 |
64/5 |
1 |
0 |
3/5 |
-1/5 |
0 |
3/5 |
1/5 |
0 |
x8 |
2/5 |
0 |
0 |
-1/5 |
2/5 |
-1 |
-1/5 |
-2/5 |
1 |
F(X2) |
64/5-2/5M |
0 |
0 |
-22/5+M |
-1/5-2/5M |
M |
3/5+11/5M |
1/5+12/5M |
0 |
Итерация №2.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x4, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai4
и из них выберем наименьшее:
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (2/5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
min |
x2 |
41/5 |
0 |
1 |
2/5 |
1/5 |
0 |
2/5 |
-1/5 |
0 |
21 |
x1 |
64/5 |
1 |
0 |
3/5 |
-1/5 |
0 |
3/5 |
1/5 |
0 |
- |
x8 |
2/5 |
0 |
0 |
-1/5 |
2/5 |
-1 |
-1/5 |
-2/5 |
1 |
1 |
F(X3) |
64/5-2/5M |
0 |
0 |
-22/5+M |
-1/5-2/5M |
M |
3/5+11/5M |
1/5+12/5M |
0 |
0 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x2 |
4 |
0 |
1 |
1/2 |
0 |
1/2 |
1/2 |
0 |
-1/2 |
x1 |
7 |
1 |
0 |
1/2 |
0 |
-1/2 |
1/2 |
0 |
1/2 |
x4 |
1 |
0 |
0 |
-1/2 |
1 |
-21/2 |
-1/2 |
-1 |
21/2 |
F(X3) |
7 |
0 |
0 |
-21/2 |
0 |
-1/2 |
1/2+M |
M |
1/2+M |
Итерация №3.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1/2) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
min |
x2 |
4 |
0 |
1 |
1/2 |
0 |
1/2 |
1/2 |
0 |
-1/2 |
8 |
x1 |
7 |
1 |
0 |
1/2 |
0 |
-1/2 |
1/2 |
0 |
1/2 |
14 |
x4 |
1 |
0 |
0 |
-1/2 |
1 |
-21/2 |
-1/2 |
-1 |
21/2 |
- |
F(X4) |
7 |
0 |
0 |
-21/2 |
0 |
-1/2 |
1/2+M |
M |
1/2+M |
0 |
Получаем новую симплекс-таблицу:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x3 |
8 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
-1 |
x1 |
3 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
x4 |
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
-2 |
0 |
-1 |
2 |
F(X4) |
27 |
0 |
5 |
0 |
0 |
2 |
3+M |
M |
-2+M |
Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план
Окончательный вариант симплекс-таблицы:
Базис |
B |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x3 |
8 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
-1 |
x1 |
3 |
1 |
-1 |
0 |
0 |
-1 |
0 |
0 |
1 |
x4 |
5 |
0 |
1 |
0 |
1 |
-2 |
0 |
-1 |
2 |
F(X5) |
27 |
0 |
5 |
0 |
0 |
2 |
3+M |
M |
-2+M |
Оптимальный план можно записать так:
x3 = 8
x1 = 3
x4 = 5
x2 = 0
x5 = 0
F(X) = 3•8 + 1•3 + 0•5 = 27
Задача 2. Сформулировать двойственную задачу к задаче 1 и решить ее.
Решение
Составим двойственную задачу к прямой задаче.
y1 + 2y2 - y3≥1
y1 - 3y2 + y3≥0
y1≥3
- y2≥0
y3≥0
11y1 + y2 - 3y3 → min
Решение двойственной задачи дает оптимальную систему оценок ресурсов.
Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.
Из теоремы двойственности следует, что Y = C*A-1.
Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.
Определив обратную матрицу D = А-1 через алгебраические дополнения, получим:
Как видно из последнего плана симплексной таблицы, обратная матрица A-1 расположена в столбцах дополнительных переменных.
Тогда Y = C*A-1 =
Оптимальный план двойственной задачи равен:
y1 = 3
y2 = 0
y3 = 2
Z(Y) = 11*3+1*0+-3*2 = 27
Задача 3. Решить задачу линейного программирования двумя методами:
графически в трехмерном пространстве и симплекс-методом.
при условиях
Решение
Запишем задачу в виде основной задачи линейного программирования
Решим задачу симплексным методом
- базисные переменные
- свободные переменные
начальное решение (0; 0; 0; 20; 30).
Б |
З |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х4 |
20 |
2 |
5 |
4 |
1 |
0 |
х5 |
30 |
4 |
3 |
5 |
0 |
1 |
f |
0 |
-6 |
-2 |
-3 |
0 |
0 |
Поскольку в f-ой строке есть отрицательные элементы, то начальное решение не оптимально. Выбираем первый столбец в качестве ведущего. х1 перейдёт в базис - покинет базис.
Б |
З |
х1 |
х2 |
х3 |
х4 |
х5 |
х4 |
5 |
0 |
7/2 |
3/2 |
1 |
-1/2 |
х1 |
15/2 |
1 |
3/4 |
5/4 |
0 |
1/4 |
f |
45 |
0 |
5/2 |
9/2 |
0 |
3/2 |
Поскольку в f-ой строке нет отрицательных элементов, то решение оптимально.
Получаем следующий план:
z=x3 = 0
x=x1 = 7.5
y=x2 = 0
f = 6•7.5 + 2•0 + 3•0 = 45
Задача 4. Решить транспортную задачу, для которой задана матрица стоимостей перевозок с указанными запасами и потребностями. Предварительно выяснить -- открытой или закрытой является задача.
Указание. Начальный план выбираем по методу северо-западного угла или минимальной стоимости. Оптимизацию следует проводить методом потенциалов.
|
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
запасы |
А1 |
5 |
3 |
2 |
3 |
100 |
А2 |
3 |
5 |
4 |
3 |
200 |
А3 |
4 |
2 |
3 |
7 |
150 |
А4 |
8 |
6 |
7 |
2 |
150 |
потребности |
170 |
80 |
140 |
190 |
|