3. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением с разделяющимися переменными. Метод решения этого уравнения следующий:

а) записываем производную в дифференциалах: ;

б) разделяем переменные и получаем уравнение в дифференциалах : ;

в) интегрируем уравнение в дифференциалах: (константуC записываем лишь одну) -- получаем общее решение в неявном виде;

г) выражаем y через x и C -- получаем общее решение в явном виде.

Заметим, что такой же метод решения применим и дифференциальному уравнению в дифференциалах, имеющему вид

Однородные уравнения

Так называются уравнения вида

Метод решения: а) переходим к новой неизвестной функции . Тогдаи уравнение (2) переписывается так:(*). А это уравнение с разделяющимися переменными.

б) Решаем вспомогательное уравнение (*). Пусть есть его общее решение.

в) Тогда -- общее решение исходного уравнения.

3. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Уравнения Бернулли.

Так называются уравнения вида

Если P(x), Q(x) непрерывны, то условия теоремы существования и единственности выполнены.

Метод решения

а) Решаем сначала уравнение без правой части как уравнение с разделяющимися переменными. Получаем общее решение в видеy(x)=C u(x), где -- одна из первообразных функции.

б) Общее решение уравнения (4) ищем в виде y=C(x)u(x), где C(x) -- функция, подлежащая определению. Такой приём называется методом вариации постоянных.

в) Подставляя в (4), имеем:

Второе и третье слагаемые в левой части дают 0, ибо. Отсюда

г) Решая это уравнение, т.е. интегрируя, находим

д) Подставляя это в , получаем общее решение исходного уравнения.

Обыкновенное дифференциальное уравнение вида:

называется уравнением Бернулли (при илиполучаем неоднородное или однородное линейное уравнение).

Заменим

тогда:

Подберем так, чтобы было

для этого достаточно решить уравнение с разделяющимися переменными 1-го порядка. После этого для определения получаем уравнение— уравнение с разделяющимися переменными.

4. Уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальное уравнение вида

называется уравнением в дифференциалах. Заметим, что (1) действительно дифференциальное уравнение первого порядка, ибо оно может быть переписано для области D, в которой N(x,y)≠ 0 как .

Уравнение (1) назовём уравнением в полных дифференциалах, если в рассматриваемой области существует функция , называемая потенциалом, дифференциал которой равен левой части уравнения, т.е.

Уравнение в полных дифференциалах может быть переписано в виде du(x,y)=0 общим решением которого являются эквипотенциальные кривые, задаваемые соотношением u(x,y)=C.

Теорема. Пусть непрерывны в некоторой односвязной областиD. Тогда (1) будет уравнением в полных дифференциалах в том и только том случае, когда в этой области выполнено условие

5. Неполные уравнения высших порядков.

6. Линейные дифференциальные уравнения; однородные и неоднородные. Линейность пространства решений однородного линейного уравнения. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение вида

называют линейным неоднородным уравнением или линейным уравнением с правой частью. Если правая часть равна нулю, т.е. если уравнение имеет вид

то его называют линейным однородным уравнением. Заметим, что для существования и единственности решения задачи Коши достаточно потребовать непрерывности функций . Непрерывность этих функций в дальнейшем предполагается и особо не оговаривается.

В частности дифференциальные линейные уравнения (неоднородное и однородное) второго порядка имеют вид:

Теорема 1. Сумма двух решений уравнения (6) снова будет решением, и произведение решения на число также будет решением.

Теорема 2. Пусть -- общее решение однородного уравнения (6), а-- частное решение неоднородного уравнения (5). Тогдаесть общее решение неоднородного уравнения (5).

Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Пусть —не пропорциональные решения. однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Тогдаесть общее решение этого уравнения.

7. Определитель Вронского. Формула Лиувилля. Основное свойство определителя Вронского. Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения.

Линейное однородное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами записывается в виде

где a₁(x) и a₂(x) являются непрерывными функциями на отрезке [a,b].

линейно независимые.  Пусть n функций y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) имеют производные (n − 1) порядка. Определитель

называется определителем Вронского. Теорема. Если система функций y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) линейна зависима на отрезке [a,b], то ее определитель Вронского тождественно равен нулю на этом отрезке.  Отсюда следует, что если определитель отличен от нуля хотя бы в одной точке отрезка [a,b], то функции y₁(x),y₂(x), ..., y_n(x) будут линейно независимыми. Это свойство определителя Вронского позволяет выяснить, являются ли найденные решения однородного дифференциального уравнения линейно независимыми.Формула Лиувилля-Остроградского

Формула Лиувилля устанавливает связь между вронскианом W(x), построенном на базе частных решений y₁(x), y₂(x), и коэффициентом a₁(x) в дифференциальном уравнении.  Пусть W(x) − определитель Вронского решений y₁(x), y₂(x) линейного однородного дифференциального уравнения 2-го порядка

в котором функции a₁(x) и a₂(x) непрерывны на отрезке [a,b]. Пусть точка x₀ принадлежит отрезку [a,b]. Тогда для всех справедливаформула Лиувилля:

Основная теорема о структуре пространства решений однородного линейного дифференциального уравнения. Пусть —не пропорциональные решения однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Тогдаесть общее решение этого уравнения.

8. Решение однородного линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Решим дифференциальное линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

(Здесь p и q – числа). Ищем решение в виде . Эта функция будет решением (1) тогда и только тогда, когда– корень уравнения

Уравнение (2) называется характеристическим.

Случай 1. .

Тогда уравнение (2) имеет два различных действительных корня ибудет Ф.С.Р. уравнения (1). Тем самым-- общее решение дифференциального уравнения (1).

Случай 2. D=0.

Тогда характеристическое уравнение (2) имеет один корень и при этом. Подставляя в (1) функцию, что

и тем самым также будет решением, не пропорциональным решению, Следовательно, общее решение уравнения (1) имеет вид

Случай 3. D<0. Тогда характеристическое уравнение (2) имеет два комплексно сопряженных решения (. Можно проверить, что-- два непропорциональных решения уравнения(1). Отсюда-- общее решение.

9. Метод подбора решения неоднородного линейного дифференциального уравнения

Решаем уравнение

где правая частьимеет специальный вид, аипо-прежнему суть числа. Мы применяем теорему, согласно которой общее решение уравнения (3) есть сумма общего решения однородного уравнения

и частного решения (обозначим его ) уравнения (3). Так как общее решение однородного уравнения мы научились находить, то осталось выяснить в каком виде и как находится какое-либо частное решение неоднородного уравнения (3).

Предположим, что есть функция вида(здесь– многочлен степениn).

Случай а) Число не является корнем характеристического уравнения (2).

Тогда частное решение можно найти в виде , где-- многочлен степениn.

Случай б). Число совпадает ровно с одним корнем характеристического уравнения.

Тогда частное решение можно найти в виде, где-- многочлен степениn. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, после подстановки в уравнение (3), находим коэффициенты многочлена .

Случай в). Число -- двукратный корень характеристического уравнения.

Тогда частное решение можно найти в виде , где-- многочлен степениn,

Подведем итог и сформулируем вид частного решения, применимый сразу для всех трех случаев а), б), в). Для этого определим число – кратность показателяв характеристическом уравнении – число корней (2), с которыми совпадает. По другому, это наибольшее неотрицательное целое число, такое, чтоделитВозможные значения суть 0, 1 или 2.

10. Метод вариации постоянных решения неоднородного линейного дифференциального уравнения.

Решаем неоднородное линейное уравнение

вообще говоря с переменными коэффициентами. Предположим, что нам удалось найти Ф.С.Р. однородного уравнения , тогда общее решение этого уравнения будет.

Решение уравнения (1) ищем в виде , гденеизвестные функции, подлежащие определению. Имеем

Положим (*). Тогда, с учетом этого, вычислим вторую производную:

Подставляя ив (1), получим

Так как , то приходим к уравнению

Вместе с (*), получаем систему, из которой находятся функции интегрированием:

Метод вариации постоянных

Пример 1

Найти общее решение дифференциального уравнения  (Диффур из Примера №2 урока Линейные неоднородные ДУ 1-го порядка)

Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным и имеет знакомый вид: 

На первом этапе необходимо решить более простое уравнение:  То есть, тупо обнуляем правую часть – вместо  пишем ноль. Уравнение  я буду называть вспомогательным уравнением.

В данном примере нужно решить следующее вспомогательное уравнение:

Перед нами уравнение с разделяющимися переменными, решение которого (надеюсь) уже не представляет для вас сложностей:

Таким образом: – общее решение вспомогательного уравнения .

На втором шаге заменим константу  некоторой пока ещё неизвестной функцией , которая зависит от «икс»:

Отсюда и название метода – варьируем константу . Как вариант, константа  может быть некоторой функцией , которую нам предстоит сейчас найти.

В исходном неоднородном уравнении  проведём замену:

По правилу дифференцирования произведения: 

Подставим  и  в уравнение :

Контрольный момент – два слагаемых в левой части сокращаются. Если этого не происходит, следует искать ошибку выше.

В результате замены получено уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем.

Какая благодать, экспоненты тоже сокращаются:

К найденной функции  приплюсовываем «нормальную» константу :

На заключительном этапе вспоминаем про нашу замену: 

Функция  только что найдена!

Таким образом, общее решение:

Ответ: общее решение:

11. Линейные системы дифференциальных уравнений. Решение линейной системы с постоянными коэффициентами.

Система обыкновенных дифференциальных уравнений вида

где a_ij(x) и b_i (x) — известные, а y_j (x) — неизвестные функции, (i = 1,2, … ,n,   j = 1,2, … , n) называется линейной системой дифференциальных уравнений.

 

При описании линейных систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной (матричной) формой записи. Обозначим

Тогда линейная система дифференциальных уравнений в векторной (матричной) форме записывается в виде Y' = A(x)Y + b(x) или, что то же самое, в виде

Матрица A называется матрицей системы, а вектор–функция b(x) — неоднородностью системы.

Система   Y' = A(x)Y + b(x) называется неоднородной линейной системой дифференциальных уравнений, а система   Y' = A(x)Y— однороднойлинейной системой.

 

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейной системы дифференциальных уравнений.

Если A(x) и b(x) непрерывны на отрезке [a, b] , то какова бы ни была начальная точка (x₀, Y₀) из R^{n + 1}, задача Коши Y' = A(x)Y + b(x), Y(x₀) = Y₀,

имеет единственное на [a,b] решение Y = Y(x) .

 

Важно отметить, что для линейной системы дифференциальных уравнений разрешимость задачи Коши глобальная: решение существует всюду, где непрерывны коэффициенты и неоднородность системы.