Вычисление взаимной индуктивности круглых и прямоугольных контуров в системе matlab

Ниже приведены тексты вычислительных сценариев расчёта взаимной индуктивности пар круглых и прямоугольных соосно расположенных в пространстве контуров.

% vzindkr - расчёт взаимной индуктивности круглых катушек

%

% Входные данные;

% R1 - радиус первой катушки

% R2 - радиус второй катушки

% w1 - число витков первой катушки

% w2 - число витков второй катушки

% x - массив расстояний между центрами катушек

% Выходные данные;

% M - массив взаимных индуктивностей катушек

m0=4E-7*pi;

k=2*sqrt(R1*R2./((R1+R2)^2+x.^2));

[K,E]=ellipke(k.^2);

M=m0*w1*w2*sqrt(R1*R2)*((2./k-k).*K-(2./k).*E);

% vzindpr - расчёт взаимной индуктивности прямоугольных катушек

%

% Входные данные;

% a - длина прямоугольного контура катушки

% b - ширина прямоугольного контура катушки

% w1 - число витков первой катушки

% w2 - число витков второй катушки

% x - массив расстояний между центрами катушек

% Выходные данные;

% M - массив взаимных индуктивностей катушек

m0=4E-7*pi;

M11=m0*a/pi/2*(log((a+sqrt(a^2+x.^2))./x)-(sqrt(a^2+x.^2)-x)/a);

M22=m0*b/pi/2*(log((b+sqrt(b^2+x.^2))./x)-(sqrt(b^2+x.^2)-x)/b);

M13=m0*a/pi/2*(log((a+sqrt(a^2+b^2+x.^2))./sqrt(b^2+x.^2))-(sqrt(a^2+b^2+x.^2)-...

sqrt(b^2+x.^2))/a);

M24=m0*b/pi/2*(log((b+sqrt(a^2+b^2+x.^2))./sqrt(a^2+x.^2))-(sqrt(a^2+b^2+x.^2)-...

sqrt(a^2+x.^2))/b);

M=2*w1*w2*(M11+M22-M13-M24);

Для примера запустим один из этих сценариев.

>> R1=0.048; R2=0.048;

>> w1=132; w2=132;

>> x=[0.04:0.002:0.06, 0.06:0.003:0.3]; % расстояния в метрах

>> vzindkr % Взаимные индуктивности, Гн

>> plot(x,M)

>> grid on

4.3. Частные случаи плоскопараллельных магнитных полей постоянных токов Распределение векторного потенциала в случае одиночного провода круглого сечения

Рис. 4.

Пусть по проводу радиуса а проходит ток I (рис. 1). Во всех окружающих точках и внутри провода абсолютная магнитная проницаемость равна ;M_r = 0.

Пусть точка наблюдения Q лежит вне провода, на расстоянии . Тогда по закону полного тока:

значит, для внешнего магнитного поля () можно записать:

Плотность тока внутри провода равна

Через поверхность, натянутую на окружность радиуса с центром на оси провода, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси провода, протекает ток

,

значит, напряженность магнитного поля внутри провода равна

,

а магнитная индукция

Векторный потенциал внутри провода

Значение одной из постоянных интегрирования C_i или C_e можно выбрать произвольно, другую же нужно подобрать так, чтобы была обеспечена непрерывность распределения векторного потенциала: A_i= A_e, при r=a.

Окончательно получаем:

Вне провода распределение векторного потенциала не зависит от радиуса провода.

Магнитное поле и индуктивность двухпроводной линии

Рис. 5.

В случае двух параллельных цилиндров одинакового диаметра 2а с токами I₁ = I, I₂ = –I (рис. 2) результирующий векторный потенциал внешнего магнитного поля равен

Принимая A_e = соnst, можно получить уравнение магнитных линий внешнего поля, т. е. r₂/r₁ = K_e.

Для точек, расположенных внутри сечения первого провода, результирующий векторный потенциал равен

Принимая A_i = const, можно получить уравнение магнитных линий внутреннего поля

Для точек, расположенных внутри сечения второго провода, результирующий векторный потенциал равен

Энергию магнитного поля двухпроводной линии можно определить по формуле (2)

,

где V – объем, занимаемый двумя проводниками линии на участке длиной l; векторы иA коллинеарны и направлены вдоль оси z, поэтому

Распределение векторного потенциала внутри второго провода противоположно распределению векторного потенциала внутри первого провода, поэтому интегрировать можно только по объему первого проводника и полученный интеграл удвоить

,

где α и r – полярные (цилиндрические) координаты точки наблюдения относительно центра первого провода. Проведя математические выкладки, можно доказать следующие соотношения:

• энергия магнитного поля на единицу длины линии:

• индуктивность на единицу длины линии: