Глава I. Основные понятия и формулы

1. Задача линейного программирования

1.1. Постановка задачи

Простейшим примером задачи линейного программирования (ЗЛП) является задача оптимального планирования производства.

Предположим, что предприятие производит два вида изделий (А и В), причем по технологии производства предусмотрено использование сырья трех типов. Известно, что для производства одного изделия А требуется затратить (ед.) сырья первого типа в количестве,(ед.) – второго типа и(ед.) - третьего типа. Затраты сырья на производство одного изделияВ равны соответственно ,и. Обеспеченность предприятия сырьем первого типа составляет(ед.), сырьем второго типа -(ед.) и сырьем третьего типа -(ед.). Кроме того, известно также, что прибыль от реализации одного изделияА равна р (руб.), а одного изделия В – q (руб.). Требуется составить такой план производства изделий из имеющегося в наличии сырья, при котором суммарная прибыль от реализации всех изделий была максимальной.

Построим математическую модель задачи. Обозначим через - число запланированных к производству изделийА, а через - число изделий видаВ. Очевидно, что затраты сырья первого типа на производство всех изделий составит величину , которая не должна превышать запасов этого сырья, то есть должно выполнятся неравенство:

.

Аналогичные рассуждения для двух других типов сырья дают еще два ограничения:

,

.

Кроме того, по смыслу задачи переменные ине могут быть отрицательными, то есть

, .

Прибыль от реализации всех этих изделий составит величину

.

Таким образом, получаем следующую математическую формализацию исходной задачи оптимального планирования:

;

В общем случае ЗЛП формулируется следующим образом:

(или ); (1.1)

(1.2)

Требуется найти максимальное (или минимальное) значение целевой функции z при условии, что переменные ,,…,удовлетворяют заданной системе ограничений (1.2), среди которых могут как равенства, так и неравенства.

Термин «задача линейного программирования» объясняется тем, что в постановке этой задаче все функции являются линейными. Функция (1.1) называется целевой функцией или функцией цели. Решением ЗЛП или оптимальным планом задачи линейного программирования называется набор

,

удовлетворяющий системе (1.2) и доставляющий линейной функции оптимальное (максимальное или минимальное) значение.

1.2. Графический метод решения

Этот метод применяется только в том случае, когда число переменных в ЗЛП невелико, то есть n = 2 или, в крайнем случае, n = 3. Рассмотрим этот метод на примере следующей ЗЛП.

Пример 1.1. Предприятие для производства двух изделий (А и В) использует сырье трех типов. Известно, что для производства одного изделия А требуется сырье первого типа в количестве 1 (ед.), второго типа - 3 (ед.) и третьего типа - 1 (ед.), а для производства изделия В - 1, 1 и 2 соответственно. Запасы сырья на предприятии ограничены и составляют величины 6, 12 и 10 соответственно. Известно также, что прибыль от реализации одного изделия А составляет 2 (руб.), а одного изделия В – 3 (руб.). Требуется составить такой план производства изделий из имеющегося сырья, чтобы суммарная прибыль от реализации всех изделий была максимальной.

Составим математическую модель задачи:

;

(1.3)

Схема решения.

1. Построим на плоскости пять прямых, соответствующих данным ограничениям:

; ;.

Прямые ,инадо строить по двум точкам, причем очень аккуратно и, желательно, на листе клетчатой бумаге. Прямые

и

соответствуют координатным осям. Очевидно, что данная система неравенств определяет на плоскости многоугольник допустимых решений (в данном случае многоугольник ABCD, см. рисунок 1).

Рис. 1

2. Найдем координаты всех вершин этого пятиугольника, составив соответствующие системы линейных уравнений и решив их (методом Гаусса или по формулам Крамера):

; ;;

;

В результате получим следующие точки:

O(0,0), A(0,5), B(2,4), C(3,3), D(4,0).

3. Отметим еще раз эти точки на плоскости (рисунок 2), а также построим вектор, координатами которого являются коэффициенты при неизвестных в целевой функцииz (начало вектора можно взять в любой точке).

Рис. 2

Очевидно, что целевая функция при всевозможных значенияхz определяет на плоскости свойство параллельных прямых, перпендикулярных вектору , поэтому максимальное значениеz на множестве допустимых решений (то есть оптимальное решение) соответствует такой прямой из этого семейства, которая во – первых, как можно дальше расположена от начала координат, а, во – вторых, имеет хотя – бы одну общую точку с многоугольником допустимых решений (эта прямая l называется опорной).

4. Построим опорную прямую l. В данном случае она проходит через вершину В(2,4), поэтому координаты этой точки дают оптимальное решение исходной ЗЛП.

Таким образом,

, ,.

Итак, для получения оптимальной прибыли в размере 16 (руб.) необходимо выпустить 2 (ед.) продукции А и 4 (ед.) продукции В.