Косвенные измерения

В математической статистике показано, что результат косвенных измерений <z> и погрешность косвенных измерений z (доверительный интервал), если зависимость имеет вид z = f(x,y,…), определяются выражениями

,

,

где <х>, <у>, … – результат прямых измерений; x, y, … – доверительные интервалы величин x, y, …, полученных в прямых измерениях. Результаты косвенных измерений записываются окончательно в виде z = <z>  z, .

Ниже в табл. 1 представлены выражения <z> и z для ряда наиболее часто встречающихся зависимостей.

Таблица 1

Вид функции	Среднее значение	Погрешность (z либо z/z)
z = x  y	<z> = <x>  <у>
z = x  y z = x/y, z = y/x	<z> = <x>  <у> <z> = <x>/<у>, <z> = <у>/<x>
z = xn	<z> = (<x>)n
z = ℓn x	<z> = ℓn <x>
z = ℓx	z = ℓx

Представление экспериментальных результатов

Полученные в опыте значения измеряемой величины заносятся, как правило, в таблицу либо представляются в виде графика.

В табл. 2 указываются единицы измерения физических величин и десятичный множитель.

Таблица 2

№ п/п	Материал	, Н/м2	ℓ/ℓ0	Е10-10, Н/м2
1	Латунь
2	Алюминий

Представление результатов измерений в виде графиков необходимо для наглядности и определения ряда величин. Масштаб выбирается таким, чтобы, во-первых, экспериментальные точки не сливались, во-вторых, обозначался простыми числами (10, 100, 0,1 и т.д. единиц соответствовали 1 см), в-третьих, занимал размеры около страницы. По осям откладываются деления и указываются символы величин и их единицы измерения. Погрешности изображаются в виде отрезков длиной в доверительный интервал. На рис. 2 представлен график зависимости углового ускоренияε от момента внешних сил М маятника Обербека, полученный в лабораторной работе “Изучение динамики вращательного движения твердого тела”.

В физике широко распространена линейная зависимость между величинами, в том числе и между теми, которые изучаются экспериментально. В этом случае наилучший вид аппроксимирующей прямой может быть выбран методом наименьших квадратов. Рассмотрим этот метод.

Пусть в эксперименте в n измерениях получены пары значений (x₁, y₁), (x₂, y₂), … , (x_n, y_n), отвечающие зависимости y = ax + b, параметры a и b которой должны быть найдены. Предполагается, что с погрешностями определена лишь совокупность значений y. Тогда отклонение в каждом i-м изменении значения аппроксимирующей прямой от экспериментально полученного y_i составляет: y_i – ax_i – b. Наилучшие значения a и b выбираются так, чтобы сумма квадратов ошибки была минимальной. Из условия минимума следует

Для определения a и b получается система из двух уравнений

Отсюда вытекают формулы для искомых a и b

.

Приближенные вычисления

Результат измерений представляет собой приближенное число, точность которого определяется ошибкой.

Пусть, например, в опыте с математическим маятником погрешность определения ускорения свободного падения равна 0,05 м/с², а g равно 9,83 м/с². Результат записывается в виде g = 9,83  0,05 м/с². Очевидно, что вычислять результат опыта с точностью до тысячных долей не имеет смысла, так как ошибка составляет сотые доли, и тем более бесполезно указывать тысячные доли при записи результата.

Полученное число (результат измерений) – приближенное, последняя цифра – сомнительная, а остальные верные. Так получается при любых измерениях.

При записи окончательного результата оставляют только значащие цифры (верные и сомнительную цифры). Если приближенное число входит в расчетную формулу, в нем сохраняют одну “неверную” цифру. Далее пользуются правилами вычислений с приближенными числами и правилами округления.