1.2. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Пусть область Dзадается в полярных координатах системой неравенствТакая область (рис. 3) являетсяправильной в полярной системе координат(каждый луч, выходящий из полюса, пересекает границу области не более, чем в 2-xточках, за исключением участков границы, совпадающих с некоторым полярным лучом).

Преобразование двойного интеграла по областиDк полярным координатам осуществляется при помощи формул

:

.

Полученный двойной интеграл в полярных координатах может быть сведен к повторному интегралу при помощи неравенств, задающих область D. В результате получаем формулу перехода от двойного интеграла к повторному интегралу в полярных координатах:

.

1.3. Некоторые приложения двойных интегралов

Если подынтегральная функция f (x, y)  1, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D равен площади области интегрирования:

.

Если область D занята тонкой пластинкой и – поверхностная плотность распределения неоднородного материала (т.е. масса единицы площади), то при помощи двойного интеграла можно вычислитьмассу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат и другие величины.

Масса пластинки: m = .

Статический момент относительно оси Ox:

. (1)

Статический момент относительно оси Oy: M_y = .

Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.

2. Тройной интеграл

2.1. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах

Пусть функция 3-х переменных u = f (x, y, z) задана и непрерывна в замкнутой областиVxOyz. Тройной интеграл от этой функции по областиV имеет вид:, где .

Если областьV– правильная в направлении осиOz, то ее можно задать системой неравенств:

где z = z₁ (x, y) иz = z₂ (x, y) – это уравнения поверхностей, ограничивающих область (тело)V соответственно снизу и сверху (рис. 4).

Если область Dможно задать системой неравенствто

В этом случае тройной интеграл от функции u = f (x, y, z) по области V можно вычислить при помощи трехкратного повторного интеграла:

.

Здесь каждый внутренний интеграл вычисляется по «своей» переменной интегрирования в предположении, что переменные интегрирования внешних интегралов остаются постоянными.

Существует всего 6 вариантов сведения тройного интеграла к трехкратному в декартовых координатах (в зависимости от выбранного порядка интегрирования).

2.2. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах

Цилиндрические координаты точки М в пространстве– это ее полярные координаты на плоскостиxOyи координатаz, т.е..

Преобразование тройного интеграла по области V к цилиндрическим координатам осуществляется при помощи формул,,:

Если область Vзадана системой неравенств:причемтоV:

Вычисление тройного интеграла по области V в цилиндрических координатах сводится к вычислению трехкратного интеграла в соответствии с записанной системой неравенств для областиV:

.

2.3. Некоторые приложения тройных интегралов

Если подынтегральная функция f (x, y, z)  1, то тройной интеграл от нее по области V равен мере области интегрирования – объему пространственного тела, занимающего область V: .

Если – это плотность неоднородного материала (т.е. масса единицы объема), из которого изготовлено тело, то при помощи тройного интеграла можно вычислитьмассу тела, его статические моменты относительно координатных плоскостей и другие величины. Например, формула для вычисления массы тела имеет вид:

. (2)