ТЕКСТЫ ЛЕКЦИЙ

ЛЕКЦИЯ 1. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1. Системы линейных уравнений.

2. Равносильные системы линейных уравнений

3. Элементарные преобразования систем.

1. Системы линейных уравнений.

Систему m линейных уравнений с n неизвестными в общем виде запишем, так:

(1)

где – неизвестные, – коэффициенты i-го уравнения при неизвестном ,– свободный член i-го уравнения.

Определение. Решением системы (1) назовем любой упорядоченный набор из n чисел , обращающий каждое уравнение системы в верное равенство.

Замечание. Набор , – образует одно решение системы (1).

Определение. Систему назовем совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и – несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Замечание. Исследовать систему уравнений (1) – значит установить, совместна ли данная система уравнений. Если система совместна, установить, сколько решений она имеет и найти их (если это возможно) или описать множество решений более эффективным способом.

Теорема. Если система линейных уравнений имеет два различных решения, то она имеет их бесконечное множество.

Доказательство.

Пусть дана система линейных уравнений (1) и (2), (3) – два различных решения системы (1).

Рассмотрим упорядоченный набор чисел:

(4)

1. Докажем, что (4) является решением (1).

Так как (2) и (3) – решения (1), то они обращают каждое уравнение системы в верное равенство. Для удобства рассмотрим i-ое уравнение системы (1), т.е.

, (5)

тогда

и (6)

Подставляя (4) в (5), с учетом (6), получим:

=

==

=

Таким образом, набор (4) является решением i-го уравнения системы (1). Проводя аналогичные рассуждения для остальных уравнений системы (1) получим, что (4) – решение системы (1).

2. Покажем, что при упорядоченные наборы вида (4) – различны, т.е. наборы

, (7)

(8)

различные решения системы (1).

Пусть (7) и (8) равны, тогда

.

Из последнего равенства, учитывая, что , получим , тогда =, что противоречит предложению: (2) и (3) – различные решения системы (1). Следовательно (7) и (8) – различны.

Поскольку t может приобретать бесконечное множество значений, то и система (1) имеет бесконечное множество решений.

Вывод. Совместная система линейных уравнений может иметь либо одно решение либо бесконечно много решений.

Определение. Совместную систему линейных уравнений назовем определенной, если она имеет единственное решение; и – неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Замечание. Решить систему линейных уравнений – это, значит, исследовать, совместна она или нет; в случае совместности установить число ее решений и найти все эти решения.

2. Равносильные системы линейных уравнений.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными

(1)

и линейное уравнение с этими же неизвестными:

a₁ x₁+ a₂ x₂+…+ a_nx_n= b (2)

Определение 1. Уравнение (2) называется следствием системы уравнений (1),

если каждое решение системы (1) является решением уравнения

(2).

Пусть дана система s линейных уравнений с этими же неизвестными:

(3)

Определение 2. Система уравнений (3) называется следствием системы

уравнений (1), если каждое решение системы (1) является

решением системы уравнений (3).

Вывод. Если уравнение (2) и система (3) являются следствием системы уравнений

(1), то каждое решение (l₁,l₂, … , l_n) системы уравнений (1) удовлетворяет уравнению (2) и системе (3), но и (2), и (3) могут иметь решения, которые не удовлетворяют системе (1) ( посторонние для системы (1) ).

Пример.

(4)

(a₁ –b₁)x₁+ (a₂ –b₂)x₂=c₁-c₂ (5)

(6)

(5) и (6) следствия системы (4).

Определение 3. Системы уравнений (1) и (3) с одними и теми же неизвестными

называются равносильными, если множества их решений совпадают, т. е. каждое решение одной из них является решением другой и наоборот или если обе системы несовместны.

Вывод. Две системы линейных уравнений с одними и теми же неизвестными будут

равносильны тогда и только тогда, когда каждая из этих систем будет следствием другой.

Определение 4. Если в системе (1)одно или несколько произвольно выбранных

Уравнений, то оставшиеся уравнения образуют систему уравнений, которую называют подсистемой системы (1).

Если какое-либо уравнение системы (1) является следствием подсистемы, образованной всеми другими ее уравнениями, то говорят, что это уравнение является следствием остальных уравнений системы.

Теорема. Если в системе линейных уравнений одно из уравнений является

следствием других ее уравнений, то, отбросив это уравнение, получим систему уравнений, равносильную исходной системе.

Доказательство. Предположим, что в системе (1) некоторое уравнение

a_k1 x₁+ a_k2 x₂+…+ a_knx_n= b_k (1 ≤ k ≤ m) (7)

является следствием других ее уравнений. Отбросив это уравнение, получим систему:

(8)

Докажем, что система (8) равносильна системе (1).

Действительно, каждое решение (l₁,l₂, … , l_n) системы (8) удовлетворяет уравнению (7), т. к. уравнение (7) следствие системы (8). Следовательно, оно удовлетворяет всем уравнениям системы (1), т. е. является решением системы (1).

Наоборот, каждое решение (c₁,c₂, … ,c_n) системы (1) удовлетворяет каждому ее уравнению, а значит, и каждому уравнению системы (8), т. е. является решением системы (8). Если одна из систем (1) или (8) несовместна, то, как вытекает из доказанного выше, и другая несовместна.

Вывод. Если какое-либо уравнение данной системы является следствием других ее

уравнений, то его можно отбросить.

Следствие. Уравнение системы, которое является тождеством, можно отбросить.