Глава 3. Комплексные числа. §6. Поле комплексных чисел.

Мнимая единица. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Равенство комплексных чисел. Арифметические операции над комплексными числами и их геометрическая интерпретация. Комплексная плоскость и формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. Двучлен­ные уравнения.

Поле комплексных чисел С– это расширение поля действительных чисел, полученное присоединением корняi(мнимая единица), квадратного уравненияx²+1=0. Элементы поляСназываюткомплексными числами. Причём,

С== a+bi,aR,bR

Представление комплексного числа в виде a+biединственно, т.е.

a+bi = с+di (a=c иb=d), =a+bi – алгебраическая форма записи комплексного числа. Действительные числаa,bназываются соответственнодействительной частью и коэффициен­том при мнимой части числа. Во множестве комплексных чисел определенаоперация сопряжения, однозначно сопоставляющая каждому числу=a+biсо­пряжённое с ним число=a–bi.

Простейшие свойства операции сопряжения: 1)=;2) =R;3)=;4)=;5), при0;6)(+)R;7)^.R8)если0, то^.>0.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел = a+biи=с+diопределяются правилами:+=(a+bi)+(с+di)=(a+c)+(b+d)i;–=(a+bi)–(с+di)=(a–c)+(b–d)i;^.=(a+bi)^.(с+di)=(ac–bd)+(ad+bc)i;(деление определено, если0).

Каждое комплексное число=a+biопределяет пару (a,b) действительных чисел, которой на координатной плоскости соответствует точка М с координа­тами (a,b) или радиус-вектор. Указанные соответствия взаимно однозначны. Этот факт позволяет представлять числа как точки коор­динатной плоскости, или как радиус-векторы. Сложение, вычитание комплексных чисел можно представить как сложение (вычитание) соответствующих векторов.

На плоскости можно использовать не только де­картову xOy,но и полярную систему координатOx(рис.1), в которой a= r^.cos, b=r^.sin, тогда=a+bi= r^.(cos+i^.sin).

Запись числа в виде r^.(cos+i^.sin) называетсятригонометрической формой комплексного числа. Длина вектора, изображающего число=a+bi, называется модулем этого комплексного числа:

r==

Угол, который образует вектор , с положительным направлением оси Ox , называетсяаргументом комплексного числа0: arg=,

=cos,=sin.

Полярные координаты точки, в отличие от декартовых, определяются неоднозначно: если r₁^.(cos₁+i^.sin₁)= r₂^.(cos₂+i^.sin₂), то r₁=r₂и₁=₂+2k, где kZ.

В тригонометрической форме над комплексными числами удобно выпол­нять действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней на­туральной степени: если ₁=r₁^.(cos₁+i^.sin₁),₂=r₂^.(cos₂+i^.sin₂), то

(cos(j₁–₂)+i^.sin(j₁–₂));

₁^.₂=r₁^.r₂(cos(j₁+₂)+i^.sin(j₁+₂));

()ⁿ=rⁿ(cos(n)+ i^.sin(n)); =^.(cos+i^.sin), где =, =, k=0..(n–1).

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргу­менты складываются, поэтому умножение на комплексное число с модулем, равным 1, геометрически можно интерпретировать как поворот на угол argво­круг начала координат, т.е. соответствие(или функция f=) при=1 за­даёт преобразование комплексной плоскости, именно указанный поворот.

Параллельный перенос на вектор, определяемый комплексным числом ,описывается функцией f=+. Умножение числана комплексное число сво­дится к растяжению вектора, изображающего, враз и повороту на угол=argвокруг начала координат. Функция f=+,,С,1, задаёт на ком­плексной плоскости гомотетию с центром в точке/(1–), коэффициентом k=и поворот с этим центром на угол=arg, что следует из равенства:

+=(–/(1–))+/(1–);

При извлечении корня n-ной степени из числа все его n значений имеют одинаковые модули, а аргументы различаются на углы, кратные 2/n. Таким обра­зом, все значениярасполагаются на окружности радиусомс центром в начале координат через угол 2/n.

Множество всех корней n-ой степени из числа можно получить умноже­нием одного из этих корней на все значения.

Используя формулу Эйлера

=cos+i^.sin, всякое комплексное число можно представить в виде:

=

Образцы решения задач.

Задача 1. Вычислить: 1) (2+3i)+(5–7i); 2) (4+i)–(7+2i); 3) (3+2i)(5–2i); 4) (2+i)/(1+3i).

Решение. Пользуясь обычными свойствами действий: коммутативностью, ассоциативностью, дистрибутивностью, получим: 1) (2+3i)+(5–7i)=(2+5)+(3–7i)= 7–4i; 2) (4+i)–(7+2i)=(4–7)+(1–2)i=–3–i; 3) (3+2i)(5–2i)=35+2i5–32i–(2i)²=15+10i–6i–4(–1)= 19+4i; (i²=–1); 4)====.

Ответ: 1) 7–4i; 2) –3–i; 3) 19+4i; 4) .

Задача 2. Найти действительные корни уравнения: (2+i)x+(1–i)y=5–2i.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, следующим образом: (2x+y)+(x–y)i=5–2i. Учитывая единственность представления комплексного числа и то, что x,yR, имеем∆==–3; ∆₁==-3; ∆₂==–9. Откуда x=∆₁/∆=1; y=∆₂/∆=3.

Ответ: (1;3).

Задача 3. Вычислить

Решение. Пусть– искомое число. Тогда по определению квадратного корня 4+3i =². Если= х+yi, x,yR, то 4+3i=(х+yi)²или 4+3i=(x²–y²)+2xyi Откуда, т.к. x,yR, получим(1) Возведя в квадрат оба уравнения системы (1), и сложив их, выведем следствие системы (1): x²+2x²y²+y²=25, (2) которое преобразуется к виду (x²+y²)²=25. Поэтому на множестве пар действи­тельных чисел уравнение (2) равносильно уравнению (3): x²+y²=5 (3) Если в систему уравнений включить её следствие, то получится система, равно­сильная исходной. Включим уравнение (3) в систему (1):

x²+y²=5 2x²=9x²=9/2x²–y²=52y²=5y²=1/2 2xy=3 2xy=3xy=3/2

Итак, система (1) имеет два решения: и. Они дают два значения корня:₁=,₂=.

Ответ:=.

Задача 4. Решить уравнение: x²–(2+i)x+(–1+7i)=0

Решение. Воспользуемся формулой вычисления корней квадратного урав­нения x_1,2=, откуда x₁=3–i, x₂=–1+2i.

Ответ. 3–i; –1+2i.

Замечание. Квадратный корень из числа 7–24i извлекается как в задаче 3.

Задача 5. Вычислить iⁿ, где nZ.

Решение. Вычислим iⁿдля нескольких натуральных показателей: i⁰=1 (по определению), i¹=i, i²=–1, i³=–i, i⁴=1, i⁵=i. Замечаем, что значения степени начи­нают повторяться: i⁴=i⁰, i⁵=i¹, i⁶=i², i⁷=i³,….Обобщим это наблюдение. Возьмём произвольное целое число n и поделим его с остатком на 4:

n=4k+r, k,rZ, 0r<4. Тогда iⁿ=i^4k+r=(i⁴)^ki^r= i^r, так как i⁴=1. Значения i^rдля 0r<4 уже найдены. Итак,

Задача 6. Решить систему уравнений

(2+i)x–(3–i)y=i (3+i)x+(2–i)y=i.

Решение. Вычислим основной и два вспомогательных определителя сис­темы: ∆==(2+i)(2–i)+(3+i)²=13+6i; ∆₁==i(2–i)+i(3+i)=2i+1+3i–1=5i; ∆₂==2i–1–3i+1=–i. Тогда x=∆₁/∆=; y=∆₂/∆=

Ответ:;.

Задача 7. Представить в тригонометрической форме: 1); 2)–7i 3) 1+cos+isin.

Решение.

1) Найдём модуль r и аргументданного числа: r=; tg=(=–/3 или=2/3). Таким образом,=2(cos+isin).

2) На комплексной плоскости число (–7i) изобра­жается радиус–вектором =(0;–7). Тогда –7i==7, arg(–7i)=XOM=–/2. Итак, (–7i)= 7(cos(–/2)+isin(–/2)).

3) Преобразуем данное число: 1+cos+isin=2cos²(/2)+i[2sin(/2)cos(/2)]= =2cos(/2)[cos(/2)+isin(/2)]. Если cos(/2)>0, то это и есть искомая тригонометрическая форма. Если же cos(/2)<0, то внесём (–1) внутрь скобок: 2cos(/2)[cos(/2)+isin(/2)]=–2cos(/2)[cos(/2+)+isin(/2+)]

Ответ: 1) =2(cos+isin); 2)–7i=7(cos(–/2)+isin(–/2)); 3) 1+cos+isin=.

Задача 8. Вычислить: 1); 2);

Решение.

1) Представим числа, стоящие в числителе и знаменателе дроби в триго­нометрической форме, для этого найдём модули и аргументы числителя и знаме­нателя. =,==2, arg=–/3 (см. задачу 7, п.1).=1+i,==, arg=/4. Выполняя операцию деления, получим:/==. К полученному выражению применим формулу возведения тригонометрической формы комплексного числа в степень (формулу Муавра):= == == ==.Замечание1. Запись вычислений можно вести так:=== == ==.

2). Задачу можно решить в алгебраической форме. ==Замечание. 1) Используем результат задачи 7, п.3. 2) Знак сos(/2) может быть любым, так как результат не обязательно получать в тригонометрической форме. 3) Ответ можно записать и так:.

Ответ: 1)=; 2)=.

Задача 9. Найти все корни: 1) 5-ой степени из=; 2) 6-ой степени из 1+cos+isin; 3) 3-тей степени из i.

Решение. 1) Запишемв тригонометрической форме:==. Воспользуемся формулой извлечения корня n-ой степени из тригонометрической формы комплексного числа:_k=, k=0..4. Найдём,. Все искомые корни задаются формулой_k=, k=0..4.

2) Воспользуемся результатом задачи 7, п.3. В данном случае, чтобы можно было воспользоваться формулой, необходима тригонометрическая форма подкоренного выражения (арифметический корень по определению существует только из положительного числа). Ответ получаем сразу: _k=,k=0..5,=0 при.

3) В качестве значения arg i выбираем то, кото­рое делится на 3: из рис. 3 arg=–3/2. Так какi=1, то одним из искомых корней будет:₀=cos(–/2)+isin(–/2)=–i. Остальные корни найдём, умножая₀на корни 3-й сте­пени из 1, т.е. на_k=, k=0..2. Найдём:₀==1;₁==;₂== =. Тогда_k=_k₀, т.е.₀=–i, ₁=, ₂=.

Ответ. 1) _k=, k=1..4; 2) _k =;k=0..5, =0, при .

3) ₀=–i, ₁=, ₂=.

Задача 10. Решить уравнения: 1) x⁹+8=0; 2) x⁶+4x³+8=0.

Решение. 1) x⁹+8=0x⁹=–8. Корнями этого уравнения являются корни 9-той степени из (–8) и только они. Один из них равен, все остальные корни получим, домножая его на все корни 9-ой степени из 1:_k=₀_k=, k=0..8.

2) Используем подстановку y=x³, тогда уравнение примет вид: y²+4y+8=0. Корни квадратного уравнения y_1,2=–2=–22i=2() Извлекая кубический корень, получим ответ: x_1..6=, k=0..2.

Замечание. Уравнение n-ой степени в поле комплексных чисел имеет в точности n решений (некоторые из которых могут совпадать). Поэтому указанное уравнение 6-ой степени имеет в точности 6 решений. Корни из числа cos–isinсопряжены с корнями из числа cos+isin, т.е. в формуле для корней нужно за­менить i на (–i). Извлекать корни из y можно так: один из корней₀===1+i; умножая его на корни 3-тей степени из единицы, получаем: (1+i). Аналогично находим остальные значения x. Окончательно получим: x_1,2= 1i, x_3,4=, x_5,6=.

Ответ: 1) x_k=, k=0..8.2) x_1,2= 1i, x_3,4=, x_5,6=.

Для самостоятельного решения.

1) Вычислить: а) (3–2i)²+(1+3i)(–2+5i); б) (2+3i)(4–5i)–(2–3i)(4+5i); в) ; г) ; д) .

2) Решить уравнения: а) x²–(2+i)x–1+7i=0; б)x²–(3–2i)x+5–5i=0; в)x⁴–3x²+4=0.

3) Представить в тригонометрической форме: а) 2–2i; б) –3–i; в) 5; г) –4; д) 3i.

4) Вычислить а) б)в)

5) Решить уравнения: а) x⁶+27=0; б)x⁸+x⁴+1=0.