Глава 2. Матрицы и определители. §4. Алгебра матриц.

Операции над матрицами. Обратная матрица. Матричное уравнение АХ=В. Система линейных уравнений как матричное уравнение.

Операции сложения, умножения транспонирования матриц, умноже­ние матрицы на число. Матричное уравнение. Единичная матрица, обратная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преоб­разований. Теоремы о ранге произведения матриц.

Пусть Р– некоторое поле (поле скаляров). Матрицы, составленные из элементов этого поля, будемназывать матрицами порядка mn, гдеmиnнатуральные числа указывающие число строк и столбцов соответственно. Обозначать матрицу будем так:

A==

Если m=nто матрицуАназываютквадратной матрицейпорядкаn. Обозначимi-ю строку матрицыАчерезА:

A=,

а j-й столбец матрицы А – через А^j

A^j=

Две матрицы порядка =иназываютравнымии пишут, если=для любых наборовi,jгде=1..n,j=1..m.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Суммой двух матриц A и Bпорядкаmnназывается матрицаCпо­рядкаmn, элементкоторый равен, т.e.

==

Произведением матрицы A=порядкана число (скаляр)назы­вается матрицаDпорядка, элементкоторый равен, т.e.

Нетрудно увидеть, что операции сложения матриц, умножения мат­рицы на скаляр обобщают аналогичные операции над арифметическими век­торами (которые являются матрицами порядка ) и обладают свойствами 1–8 (см §).

Рассмотрим матрицу порядкаи матрицупорядка. Произведение строкина столбецопределим следующим образом:

Произведением матриц и B называется матрицапорядка, такая, что,или

Согласно определению произведения матриц иу матрицычисло строк совпадает с числом столбцов матрицы, а число столб­цов – с числом столбцов матрицы, т.e. если– матрица порядка, аB – матрица порядка, то– матрица порядка. При этом

Непосредственный анализ определения операции умножения матриц показывает, что каждый столбец произведения матриц АиВлинейно выра­жается через систему столбцов матрицы, а каждая строка этого произве­дения линейно выражается через систему срок матрицы. Или бо­лее подробно:-ый столбец матрицыесть линейная комбинация всех столбцов матрицы, коэффициенты этой комбинации – элементы-го столбца матрицы,-ая строка матрицыABесть линейная комбинация всех строк матрицы, а коэффициенты этой линейной комбинации – эле­менты-ой строки матрицы. Эти утверждения лежат в основе доказа­тельствапервой теоремы о ранге произведения матриц:ранг про­изведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей :

Умножение матриц не коммутативно, например: ==

==

Если же , то матрицыназываютперестановочными.

Умножение матриц ассоциативно: если существуют произведенияиматриц, то существуют также и произведенияи, и они равны:

.

Отметим также, что если произведениеABсуществует. Умножение матриц связано со сложе­нием двумядистрибутивными законами: если существуют матрицыA+BиACто существуют также,и(правый дистрибутивный закон);если существуютито сущест­вуют ии(левый дистрибутивный закон).

Транспонированием матрицы называют замену ее строк столбцами с сохранением порядка их записи, т.e. если– матрица порядкато транспонированная матрица– порядка. Очевидно, что еслиисуществуют, то существуют такжеи, и

Рассмотрим систему линейных уравнений снеизвестными:

(1)

Обозначив через основную матрицу этой системы, через– одно­столбцовую матрицу, составленную из неизвестных этой системы, а через– одностолбцовую матрицу из ее свободных членов, запишем систему (1) в матричном виде: . Система линейных уравнений в матричной записи представляет собой частный случай матричных уравненийвида

(2)

Уравнение вида ya=bсводятся к этому же типу матричных уравнений, поскольку(YA)^T=B^Tи в результатеA^TY^T=B^T.

Согласно определению умножения матриц, не имеет реше­ний, если матрицыимеют различное число строк. Поэтому имеет смысл рассматривать уравнение вида (2), в которых число строк у мат­рициодно и то же.

В равенстве первый столбец матрицыявляется произве­дением матрицына первый столбец матрицы, второй стол­бец – произведением матрицыАна второй столбец матрицыи т.д. Еслистолбцовая матрица, то матричное уравнениераспада­ется на системуматричных уравнений:Каж­дое из этих матричных уравнений является системой линейных урав­нений, причем все они имеют матрицусвоей основной матрицей, и их решениями будут столбцы неизвестной матрицы. Обычно, все эти линей­ные системы решаются одновременно, в виде пакета. Приведенные рассуждения позволяют, применив критерий Кроникера-Капелли, устано­вить критерий разрешимости матричных уравнений: матичное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицыравен рангу матрицы (АВ), т. e. матрицы полученной из матрицы присоединением к ней матрицы.

Квадратную матрицу, ранг которой равен ее порядку, называют невырожденной. Если ранг квадратной матрицы меньше ее порядка, мат­рицу называютвырожденной.

Заметим, что если в матричном уравнении матрицаневы­рожденная, то это уравнение имеет единственное решение, так как каждая из систем линейных уравнений, на которые оно распадается, будет совместной и определенной.

Квадратную – матрицу вида:называют единичнойи обозначаютлибо, если размеры известны или подразумеваются. Очевидно, что если– квадратнаяматрица, то.

Если , то матрицуназываютправой обратной для мат­рицыа матрицуA–левой обратнойдля матрицыC.

Видно, что матрица Cявляется решением матричного уравнения, причем, еслиA – невырожденная матрица, это решение единствен­ное. Следовательно,всякая невырожденная матрица имеет единствен­ную правую обратную матрицу. Обозначим правую обратную матрицу для матрицыAчерез.

Ранг матрицы равен ее порядку, а если произведение матриц – матрица невырожденная, то согласно первой теореме о ранге произведе­ния матриц, невырожденным будет и каждый сомножитель. Поэтому, еслито– тоже невырожденная и имеет для себя правую обратную. Пусть это будет матрицаD, т.e.. Тогда с одной стороныс другой –откуда вследст­вии ассоциативности умножения матрицит.e. правая обратная матрицабудет и ее левой обратной. Итак,всякая невы­рожден­ная матрица имеет единственную обратную двусторон­нюю мат­рицу,которую обозначают:

.

Одним из способов нахождения матрицы, обратной для матрицы , является решение матричного уравнения.

Согласно первой теореме о ранге произведения матриц, . Если матрицаАневырожденная, то матрицуВможно записать в виде В=А^–1(АВ), и тогда (по той же теореме). Тем самым доказанавторая тео­рема о ранге произведения матриц:если матрицаA невырожденная, то

Задача 1. Вычислитьгде

Решение. Так как в данное выражение вместо переменных под­ставляются матрицы, можно считать, что число 4 умножено на единичную матрицу, т. е. 4 надо понимать как 4Е:

.

Ответ: .

Задача 2. ВычислитьAB, где

A=,B=.

Решение. Число столбцов матрицыАравно числу строк матрицыB, значит произведениеАВсуществует (ноВАв этом случае не существует).

По определению произведения матриц для вычисления элемента c_ijматрицыС=АВ( т. е. элемента в i-й строке и j-м столбце), следует i-ю строку матрицыАумножить на j-й столбец матрицыВ(). Например,

=. Запишем:C=.

Ответ: C=.

Задача 3. ВычислитьАВиВА, если они существуют: a)A=,B=б)А=,B=в) А=,В=

Решение. а)А(–1=. б)=.==. в),не существует.

Ответ: a) ,;б) ,;в) ,не существует.

Задача 4. Вычислить f(A), если f(x)=x²–2x+1,

A=

Решение. f(A)== == =

Ответ: f(A)=.

Задача 5. Решить матричное уравнение видаАХ=В.

а) б)

в)г)

Решение. МатрицаХдолжна иметь столько строк, сколько столбцов у матрицыА, и столько столбцов, сколько столбцов у матрицыВ. Для су­ществования решения уравненияАХ=Внеобходимо, чтобы матрицыАиВимели одинаковое число строк. Поэтому в случае г) уравнение решения не имеет.

а) Матрица А – размера, матрицаВ – размера. Поэтому мат­рицаХразмера –,

Х=ТогдаАХ=Вможно записать так:;;и.откудаи. ИтакX=.

Проверка: ==.

2 способ.Матричное равенствоАС=Вне измениться при одинаковых элементарных преобразованиях систем строк матрицАиВ. Поэтому, при одинаковых элементарных преобразованиях систем строк матрицАиВуравнениеАХ=Впереходит в равносильное. Поменяем местами первую и вторую строки, затем первую строку умножим на (1/3), а вторую на (1/2), третью на (–1). Получим уравнение равносильное исходному:илиХ=, т.к.Е=,ЕХ=Х.

б) Матрица А – размера 33, матрицаВ – размера 32 . Поэтому иско­мая матрицаХ – размера 32. Тогда исходное уравнение можно записать в виде:

A=B.

Это уравнение равносильно системе двух уравнений:

A,A. Каждое из этих уравнений является системой линейных уравнений с тремя неизвестными, причем у обеих систем одна и та основная матрицаА. По­этому их можно решать одновременно, написав столбцы свободных членов рядом.

Итак, матричное уравнение АХ=В есть пакет систем линейных уравне­ний с общей основной матрицейА:, т.е.Х=.

Фактически метод решения тот же , что и в пункте а), но элементар­ных преобразований больше, т.е. одними и теми же элементарными преобра­зованиями строк матриц АиВуравнениеАХ=Вбыло преобразовано в рав­носильное:.

Проверка: == =.

в) Решаем пакет двух систем линейных уравнений: . Замечаем, что обе системы, входящие в пакет, имеют бесконечно много ре­шений при одном свободном неизвестном. Запишем их в виде:

и . Значит

и . Поэтому

Х=, где– любые числа.

Проверка: = =

Ответ:a)X=б)Х=

в) Х=где– любые числа; г) решений нет.

Задача 6.Решить матричное уравнение вида:XA=B, если:

a) A=B=

б) A=B=

в) A=B=

г) A=B=

Решение.Для существования решения необходимо равенство числа столбцов матрицА иВ. Поэтому в случае в) решения нет. На размеры мат­рицыХвлияет число строк матрицАиВ: число строк матрицыХ равно числу строк матрицыВ, число столбцов равно числу строк матрицыА.

а) Матрица Вразмера 23, матрица А размера 33. Поэтому матрица Х размера 23, т.е.

Х=. Тогда уравнениеХА=Взапишется в виде:

=или. Откудаи. Поэтомуи. Тогда

X=.

Проверка: .

2 способ.Воспользуемся равенствомТогда уравнениеХА=В перейдет в уравнениекоторое можно решить как пакет систем линейных уравнений, а затем решение транспонировать.

Решаем пакет двух систем уравнений: Тогдаили.

б),. Решаем пакет систем уравнений:. Тогдаили.

Проверка:XA=г)A^T=,B=. Решаем пакет двух систем уравнений:

Откудаи. Системы являются совместными неопределёнными и имеют решения:и, где,R. Тогда.Поэтому

Проверка:

Ответ:а)Х=б)Х=

в) решения нет;

г) Х=где– любые числа,

Задача 7Вычислить матрицы обратные данным:a) в)

Решение.

а) Решим матричное уравнение АХ=Е, как пакет систем линейных уравнений:В любой из трех систем пакета третье уравнение противоречиво, т.e. мат­рицаАне имеет обратной, а, значит, вырождена.

в) Решаем уравнение ВХ=Е, как пакет систем линейных уравнений:

Тогда

X=

Проверка.

Значит, В^–1=Х.

Замечание. Если для матрицысуществует обратная (матрицаневырождена), то для нахождениясоставляется комбинированная матрицакоторая при помощи элементарных преобразований строк приводится к видугде справа от черты искомая матрица (способ элементарных преобразований строк).

Ответ: а) для матрицы– обратной нет;

б)

Для самостоятельного решения.

1. Перемножить матрицы. Определить, существуют ли оба произведе­ния и: а); б) в) г) д) е) и) к) 2. Вычислитьесли:

3. Найти значение многочлена от матриц: a)б)4. Найти матрицы, обратные данным: a)б)в)5. Решите матричное уравнение: а)Х=б)Х=в)Хг)Хд)ХУказание. В уравнении, обозначьте