4. Процесс Эйткена.

У всех рассмотренных выше обобщенных формул на равномерных и квазиравномерных сетках ошибку можно разложить в ряд по степеням шага. К ним применим метод Рунге. Но для его применения надо знать, каков порядок точности исходной формулы.

Предположим, что порядок точности p существует, но неизвестен. Оказывается и в данном случае можно уточнить результат, если расчеты проведены на трех (или более) сетках.

Чтобы упростить алгоритм расчета, выберем три сетки с постоянным отношением шагов, т.е. с шагами Обозначим приближенное значение интеграла наK-й сетке через и ограничимся главным членом погрешности. Тогда можно записать

(12)

Это система трех уравнений для определения неизвестных F, ,p. Вводя вспомогательные обозначения преобразуем эту систему к следующему виду:

(13)

Перемножая крайние уравнения (13) и сравнивая с квадратом среднего уравнения, получим

отсюда легко получить уточненное значение интеграла

(14)

Попарно вычитая уравнения (13) друг из друга, получим

или

Следовательно, эффективный порядок точности исходной формулы (12) равен:

. (15)

Описанный алгоритм был предложен Эйткеном в 1937г. Для ускорения сходимости итерационных процессов последовательного приближения, в которых ошибка убывает примерно по геометрической прогрессии. Погрешность численного интегрирования при изменении шага в q раз меняется приблизительно в раз. Поэтому если сетки последовательно сгущаются в одно и то же число раз, то ошибка убывает именно по требуемому закону.

Вычисляя уточненное значение следует именно по формуле (14), не преобразовывая её. В данной записи из вычитается поправка, в которой числитель и знаменатель имеют одинаковый порядок малости, поэтому заметной потери точности не происходит. Если же привести все члены в формуле к общему знаменателю, то в вычислениях придется удерживать много знаков, чтобы избежать потери точности при округлениях.

5. Метод Монте-Карло.

Во многих задачах исходные данные носят случайный характер, поэтому для их решения должен применяться статистико-вероятностный подход. На основе таких подходов построен ряд численных методов, которые учитывают случайный характер вычисляемых или изме­ряемых величин. К ним принадлежит и метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло, который применяется к решению некоторых задач вычислительной математики, в том числе и для вычисления интегралов.

Метод Монте-Карло состоит в том, что рассматривается некоторая случайная величина , математическое ожидание которой равно искомой величине :

Проводится серия независимых испытаний, в результате которых получается (генерируется) последовательность случайных чисел(выборка), имеющих то же распределение, что и, и по совокупности этих значений находится выборочное среднее, которое является статистической оценкой. Искомая величинаполагается приближенно равной этой оценке

Пусть – равномерно распределена на отрезке [0,1] случайная величина. Это означает, что её плотность распределения задается соотношением

Тогда любая функция также будет случайной величиной, и её математическое ожидание равно

Следовательно, читая это равенство и в обратном порядке, приходим к выводу, что интеграл может быть вычислен как оценка математического ожидания некоторой случайной величины , которая является функцией случайной величиныс равномерным законом распределения, причем оценкаопределяется независимыми реализациямислучайной величины:

Аналогично могут быть и вычислены и кратные интегралы. Для двойного интеграла получим

Где – квадрат – независимые реализации случайных величинравномерно распределенных на отрезке [0,1].

Для использования метода Монте-Карло при вычислении определенных интегралов, необходимо вырабатывать последовательности случайных чисел с заданным законом распределения. Существуют различные способы генерирования таких чисел.

Можно построить некоторый физический процесс (генератор) для выработки случайных величин, однако при использовании компьютера этот способ не применяется, поскольку, во-первых, трудно дважды получить одинаковые совокупности случайных чисел, которые необходимы при от­ладке программ, а во-вторых, такой физический генератор существенно усложнил бы конструкцию компьютера.

Известны многие таблицы случайных чисел, которые вычислялись незави­симо. Их можно ввести в компьютер и при необходимости обращаться к ним.

В настоящее время наиболее распространенный способ выработки случайных чисел на компьютере состоит в том, что в памяти хранится некоторый алгоритм получения таких чисел по мере потребности в них (подобно тому как вычисляются значения элементарных функций, а не хранятся их таблицы). Поскольку эти числа генерируются по наперед заданному алгоритму, то они не совсем случайны (псевдослучайны), хотя и обладают свойственными случайным числам статистическими характе­ристиками. В современных языках программирования такие алгоритмы реализованы в виде подпрограмм — датчиков случайных чисел.