2. Метод трапеций.

Пусть функция непрерывна на отрезке [a,b], заменим её многочленом Лагранжа первой степени с узлами . Это соответствует замене кривой на секущую. Искомый интеграл, равный площади криволинейной фигуры, заменяется на площадь трапеции (рис. 3).

Рис. 3

Из геометрических соображений нетрудно написать для него формулу трапеций

(3)

Это одна из простейших квадратурных формул. Найдем её погрешность. Для этого разложим по формуле Тейлора, выбирая середину отрезка за центр разложения и предполагая наличие у функции требуемых непрерывных производных:

(4)

Погрешность есть разность точного и приближенного значений интеграла. Подставляя в (3) разложение (4), получим главный член погрешности

(5)

где члены, отброшенные при замене точного равенства приближенным, содержат старшие производные и более высокие степени длины отрезка интегрирования. Заметим, что содержащие ичлены разложения (4) уничтожились и не дали вклада в погрешность; это нетрудно было предвидеть, ибо формула трапеций по самому выводу точна для многочлена первой степени.

Вообще говоря, длина отрезка b-a не мала, поэтому остаточный член (5) может быть велик. Для повышения точности на отрезке [a,b] вводят достаточно густую сетку Интеграл разбивают на сумму интегралов по шагам сетки и к каждому шагу применяют формулу (3). Получают обобщенную формулу трапеций

(6)

На равномерной сетке она упрощается:

(7)

Поскольку в оценке (5) были отброшены члены, содержащие более высокие степени длины интервала, то выражение остаточного члена (7) является асимптотическим, т.е. выполняющимся при с точностью до членов более высокого порядка малости. Но для справедливости этой оценки необходимо существование непрерывной; есликусочно-непрерывна, то удается сделать лишь мажорантную оценку

(8)

Таким образом, обобщенная формула трапеций имеет второй порядок точности относительно шага сетки. На равномерной сетке это видно непосредственно, а на квазиравномерной сетке, порожденной преобразованием , остаточный член (6) можно привести к виду

(9)

если используемые в этой формуле производные непрерывны. Для произвольной неравномерной сетке асимптотическая оценка в виде суммы (6) справедлива, но неудобна для использования; можно пользоваться мажорантной оценкой (8), подразумевая под шагом

3. Метод Симпсона.

Разобьем отрезок интегрирования [a,b] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом второй степени:

Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным В качествеможно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки

Рис. 4

Сумма элементарных площадей и(рис. 4) может быть вычислена с помощью определенного интеграла. Учитывая равенстваполучаем

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка просуммируем полученные выражения:

Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:

(10)

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол.

Эту формулу можно получить и другими способами, например двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [a,b] на части с шагами h и 2h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций.

Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых индексов. В этом случае число отрезков разбиения n произвольно (не обязательно четно), и формула Симпсона имеет вид:

(11)

Видно, что формула (11) совпадает с (10), если формулу (10) применить для числа отрезков разбиения 2n и шага h/2.

Как и для формулы трапеций, погрешность формул Симпсона вычисляется подстановкой разложения (4), в котором теперь надо удержать большее число членов и для каждой пары интервалов иза центр разложения взять узел. Главный вклад в погрешность дает только пятый член разложения. Подставляя его в выражение суммарной погрешности двух соседних интервалов, найдем

После суммирования по парам соседних интервалов получим

т.е. формула Симпсона имеет четвертый порядок точности, а численный коэффициент в остаточном члене очень мал. Благодаря этим обстоятельствам формула Симпсона обычно дает хорошую точность при сравнительно небольшом числе узлов(если четвертая производная функции не слишком велика).