
- •Введение
- •1 Принятые обозначения
- •2 Образование проекций. Методы проецирования
- •3 Проецирование точки
- •4 Прямая. Взаимное положение прямых.
- •5 Плоскость
- •6 Взаимное положение двух плоскостей
- •7 Взаимное положение прямой линии и плоскости
- •8 Прямая линия, перпендикулярная плоскости.
- •9 Способы преобразования проекций
- •10 Многогранники. Сечение многогранников плоскостью.
- •11 Поверхности вращения. Пересечение поверхностей
- •12 Пересечение прямой линии с поверхностью
- •13 Построение линии пересечения поверхностей
- •Литература
- •Бурменко ф.Ю., Ени в.В., Лупашко г.П.,
8 Прямая линия, перпендикулярная плоскости.
8.1 Основные положения
Обратимся
к рисунку 8.1, на котором изображена
плоскость
и перпендикулярная
к ней прямая п.
Рисунок 8.1
Прямая
п
перпендикулярна к любой прямой плоскости
,
т.е.
.
Каждый
такой прямой угол проецируется на
плоскость проекций в виде некоторого
угла, но угол между прямой n
и горизонталью плоскости h
проецируется
на горизонтальную плоскость проекций
прямым углом, так как его сторона h
|| П1.
Если
,
то
.
Угол между прямойп
и фронталью
плоскости проецируется нафронтальную
плоскость проекций прямым углом (его
сторона
||
П2).
Если
,
то
.
Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекции перпендикулярны к одноименным проекциям линий уровня этой плоскости.
На
рисунке 8.2 через точку N проведена прямая
п,
перпендикулярная
к плоскости
.
Для этого в плоскости
(аxb)
определены
горизонталь h
и фронталь
,
и горизонтальная проекция перпендикулярапроведена
перпендикулярно к горизонтальной
проекции горизонтали, а
фронтальная проекция — перпендикулярно
к фронтальной проекции
фронтали:
.
Рисунок 8.2
В том случае, когда
плоскость задана следами (рисунок 8.3),
проекции перпендикуляра
располагаются перпендикулярно к
одноименным следам плоскости:.
Рисунок
8.2 позволяет утверждать, что изображенные
на нем прямая п
и плоскостьΣ
взаимно перпендикулярны. Действительно,
из чертежа следует, что прямая n
перпендикулярна к прямой h,
так как угол
между горизонтальными проекциями сторон
угла прямой и одна сторона его (h)
параллельна плоскости П1.
Точно так же прямая и перпендикулярна
к прямой
.
Но если прямая линия перпендикулярна
к двум пересекающимся прямым плоскости,
то она перпендикулярна к этой плоскости.
Рисунок 8.3 Рисунок 8.4
Плоскость,
перпендикулярную к данной прямой,
определяют с помощью пересекающихся
линий уровня. На рисунке 8.4 (а
- условие, 6
- решение)
через данную точку А проведена плоскость
,
перпендикулярная
к заданной прямой п.
Горизонталь
h
плоскости проходит через
точку А ().
Фронталь
этой плоскости может быть также проведена
черезточку А,но
может пересекать горизонталь и в любой
другой точке, поскольку все они находятся
в искомой плоскости.
На рисунке 8.4 фронталь f2
проходит
через точку В
.
На рисунке 8.5 изображена прямая, перпендикулярная к горизонтально проецирующей плоскости. Очевидно, эта линия является горизонталью.
Рисунок 8.5 Рисунок 8.6
На рисунке 8.6 изображена прямая, перпендикулярная к фронтально проецирующей плоскости. Она является фронталью.
На
рисунке 8.7 изображена прямая п
(MN),
перпендикулярная к профильно-
проецирующей плоскости
.
Заметим, что, проведя проекции
и
мы еще не определим величину искомого
перпендикуляра.
Это
не должно нас удивлять, так как,а
перпендикулярность прямой
и плоскости обеспечивается
перпендикулярностью этой прямой к
двум пересекающимся прямым плоскости.
Для решения задачи нужно
построить профильный след. Тогда
.
Если требуется
определить, перпендикулярна ли некоторая
прямая т
к заданной
плоскости
,
то через какую-нибудь точку М этойпрямой
следует провести перпендикуляр n
к плоскости
(рис. 8.8).
При
совпадении линии m
и n
прямая m
перпендикулярна к плоскости
.
Рисунок 8.7 Рисунок 8.8
8.2. Примеры решения задач
8.2.1
Задание:
опустить
перпендикуляр из точки А на плоскость
(
)
и найти его основание точку В.
Решение:
исходя
из принципа перпендикулярности прямой
и плоскости
(прямая перпендикулярна к плоскости,
если она перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым этой плоскости),
необходимо в плоскости провести две
пересекающиеся прямые, а именно
горизонталь
h
и
фронталь
(рисунок
8.9).
Рисунок 8.9 Рисунок 8.10
Затем из точки А
проводим нормаль n
к плоскости
.
На основании
теоремы о проецировании прямого угла
и
.
Если
плоскость
задана следами, то
и
(рисунок
8.10). Основаниеперпендикуляра
определяется как точка пересечения его
с плоскостью.
Для этого нужно провести через нормаль
проецирующую плоскость
,
найти
линию пересечения 1-2 плоскостей
и
ина
пересечении этой линии и нормали отметить
общую точку В
для
нормали и
плоскости.