16. Собственные значения и собственные векторы л.О.

Опр. Квадратная матрица А наз. диагональной, если в ней все элементы не стоящие на главной диагонали равны 0:

Заметим, что не для каждого л.о. существует базис, в котором его матрица диагональна.

Опр. Пусть V – век.пр-во над полем Р, - л.о. в V, число называется собственным значением л.о. , если найдется век. , причем : . Сам вектор наз. собственным вектором л.о. , который отвечает собственному значению .

Примеры:

Теорема(о матрице л.о. в базисе из собственных векторов): Пусть –век.пр-во над полем Р, - л.о. в , - базис , -матр.л.о. в базисе . Матрица имеет диагональный вид когда базис состоит из собственных векторов.

Док-во: Пусть -явл.собств.век.,которые отвечают соответ.собственным значениям тогда имеем:

(1)

Тогда = (2), следовательно - диагональна.

:пусть матрица - диагональна,т.е. имеет вид (2), тогда по опред.матр.л.о.выполн.рав-ва(1) из которых что век. явл собственными вект.л.о.

Опр. Пусть А= произвольная квадратная матрица над полем Р. Характеристичеким многочленом л.о.наз характеристический многочлен матрицы этого л.о. =|- -xE|

Теорема(об инвариантности харак.многочлена).Характеристический многочлен л.о. не зависит от выбора базиса в котором вычисляется матрица .

Замечание!! Получаем, что опред.матр. зависит от выбора базиса, в котором вычисляется м., т.е. является инвариантом л.о.

Теорема(о собственных значениях л.о.) Пусть –век.пр-во над полем Р, - л.о. в , собствен. значен.л.о. явл. корнями его характеристического многочлена и обратно каждый корень характеристич. многочлена явл. собственным значением этого л.о.

Теорема: Собствен.век.л.о. отвечающие попарно различным собственным значениям этого л.о. л/нз (система век.наз. л/з, если найдутся скаляры , среди которых по крайней мере 1 не равен 0 такие, что (1), л/нз – если (1) никогда не выполняется, кроме случая ).

Опр. пусть –век.пр-во над полем Р, - л.о. в , мн-во всех его собственн. значений наз. спектром л.о. . Спектор л.о. наз.простым, если он состоит из n-попарно различных собств. значен.л.о. , где dim =n.

Теорема (о л.о. с простым спектром): если спектр л.о. простой, то сущ. базис в век.пр-ве , в котором матрица этого л.о. диагональна.

Док-ть: Пусть – простой спектр л.о., где n=dim и пусть - собственные вект., отвечающие соответственно собственным значениям . По последней теореме век.-л/нз и следовательно они образуют век.пр-во (по теореме о базисе- Пусть S произв. конечная сист. векторов из ; л/нз подсистема системы S образует базис сис. S  когда число векторов в этой сис.совпадает с рангом сис. S, ), но тогда по теореме о матрице л.о. в базисе из собственных векторов имеет диагональный вид:

Приведение матрицы к диагональному виду.

Кв.матр. n-го порядка А и В наз подобными, если сущ. такая квадратная матрица Т, что В= (АВ).Найти такую матрицу Т, чтобы для А была диагональна.

Решение:Рассм.л.о. в век.пр-ве Vнад полем Р размерности n такой, у которого матр. в канонич. базисе . Если удастся постр. Базис из собствен. векторов, то обозначим через Т матр. перехода от канонического базиса к базису из собственных векторов, тогда по теореме о связи матрицы л.о.в различных базисах матрица будет матр.л.о. уже в базисе из собственных векторов и по теореме о матрице л.о. в базисе собствен. векторов она будет диагональной, где -собственные значения л.о.