5.Линейные сравнения с одной переменной.

Сравнения первой степени с одним неизвестным имеют вид ax ≡ b (mod m), где a, b, n – целые, n > 0.

Решить сравнение – значит, найти все целые значения переменной x, удовлетворяющие сравнению.

При решении сравнения ax ≡ b (mod m) возможны случаи:

• если b не кратно d, то у сравнения нет решений;

• если (a, m) = 1, то (1) имеет одно решение;

• если (a, m) = d > 1 и d делит b, то (1) имеет d решений;

В этом случае в результате сокращения исходного сравнения на d получается сравнение: где , и являются целыми числами, причем и взаимно просты. Поэтому число можно обратить по модулю , то есть найти такое число c, что (другими словами, . Теперь решение находится умножением полученного сравнения на c:

6.Поле комплексних чисел. Алгебраическая и тригонометрическая форма изображения комплексного числа.

Комплексные числа — расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается . Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма a + bi, где a и b — вещественные числа, i — мнимая единица (одно из решений уравнения x² = − 1).

Поле комплексных чисел можно понимать как расширение поля вещественных чисел, в котором многочлен z² + 1 имеет корень. Следующие две элементарные модели показывают, что непротиворечивое построение такой системы чисел возможно. Оба приведенных определения приводят к изоморфным расширениям поля вещественных чисел , как и любые другие конструкции поля разложения многочлена z² + 1.

Каждое комплексное число z = a + bi однозначно определяется действительными числами Rez = a, Imz= b которые называются действительной и соответственно мнимой частями числа z. Таким образом имеем z = Rez + iImz, .

Алгебраическая форма

Запись комплексного числа z в виде a + bi, , называется алгебраической формой комплексного числа.

Сумма и произведение комплексных чисел могут быть вычислены непосредственным суммированием и перемножением таких выражений, как обычно раскрывая скобки и приводя подобные, чтобы представить результат тоже в стандартной форме (при этом надо учесть, что i² = − 1):

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d);

Понятия действительной и мнимой части комплексного числа и адгебраическая форма комплексных чисел естественно определяют преобразования:

которые мы будем называть внутренними каноническими проектированиями поля C.

Утверждение: внутренние канонические проектирования поля комплексных чисел удовлетворяют условиям:

– нулевое преобразование

Тригонометрическая и показательная формы

Если вещественную x и мнимую y части комплексного числа выразить через модуль r = | z | и аргумент (, ), то всякое комплексное число z, кроме нуля, можно записать в тригонометрической форме

Также может быть полезна показательная форма записи комплексных чисел тесно связанная с тригонометрической через формулу Эйлера: где  — расширение экспоненты для случая комплексного показателя степени.

Отсюда вытекают следующие широко используемые равенства:

7. Кольцо многочленов над произвольным полем. Теорема о делении с остатком в кольце многочленов.

8. Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.

9. Разложение многочлена в произведение неприводимых множителей, и его единственность.

10. Теорема о существовании корня многочлена в поле комплексных чисел. Каноническое разложение многочлена над полями комплексных и действительных чисел.

11. Система линейных уравнений. Понятие ранга. Теорема Кронекера-Капелли.

Пусть имеется несколько линейных уравнений от переменных . Данные уравнения образуют систему линейных уравнений, если ставится задача найти все такие упорядоченные n-ки чисел , которые являются решением каждого из этих уравнений.

Решением системы линейных уравнений называется упорядоченной n-кой чисел , которая является решением каждого уравнения из системы линейных уравнений.

Система линейных уравнений назыв совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если у нее нет решений.

Система линейных уравнений назыв определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Слу назыв.ступенчатой, если она удовлетворяет двум условиям:1) в каждом уравнении системы есть коэф. не равные нулю; 2) в каждом уравнении системы начиная со второго номер первого ненулевого коэф. больше номера предыдущего уравнения. В каждом уравнении ступенчатой слу начиная со второго первый ненулевой коэф. расположен правее первого ненулевого коэф. в предыдущем уравнении.

Теорема (о ступенчатой слу): В ступенчатой слу число уравнений m не ревосходит числа неизвестных n. Если m=n, то слу имеет убедит. единственное решение (т.е. явл.определеннным), если же число ур. Меньше числа неизвестных m<n, то ступ.слу. имеет бесчисленное число решений, при условии, что рассм.над числовым полем.

Две слу от одних и тех же неизвестных наз. равносильными, если каждое решение одной из них явл. решением другой.

Элементарными преобразованиями слу назыв. следующ.преобразования:1) перестановка местами 2-х каких-либо уравнений СЛУ; 2) умножение всех коэф. и свободного члена какого-либо уравнения слу на одно и то же число ; 3) прибавление ко всем коэф. и свободным членам какого-либо уравнения слу, соответ.коэф. и свободного члена другого урав.слу умножен. На одно и то же число ; 4) удаление из слу тривиального уравнения.

Теорема (об элементарных преобразованиях): если некоторая слу получается из другой слу при помощи конечного числа элементарных преобразований, то эти слу равносильны.

Теорема: если в слу не все коэф. равны 0, то при помощи конечного числа элементарных преобразований эта слу может быть преобразована в равносильную ступенчатую слу или слу содержащ. противоричивое уравнение.

Рангом конечной системы векторов из назыв натуральное число r такое, что выпол условия: 1) найдется подсистема систем состоящий из r-векторов, которая л/нз; 2) любая подсистема систем содержащая более чем r векторов л/з.

Т. о, ранг – это мах число л/нз векторов в этой системе. Обозначается - .

Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных уравнений (слу) совместна <=> когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Док-во: Пусть дана слу (1). Обозначим через А и В соответственно матрицу и расширенную матрицу этой слу, а через - столбцы матрицы А, а через в – столбец свободных членов.

1) Пусть (1) совместна, требуется доказать, что . Т.к. система совместна, то по вспомогательной лемме (слу совместна тогда и только тогда, когда столбец свободных членов линейно выражается ч/з столбцы матрицы системы), вектор в линейно выражается через векторы и тогда имеем =(т.к. вектор в линейно выражается через векторы , то в можно удалить и ранг не измениться)==>

2) Пусть . Т.к. среди столбцов матрицы А найдется л/нз система столбцов () . Эти столбцы одновременно являются столбцами матрицы В и т.к. их число совпадает с рангом матрицы В (), то они образуют базис системы столбцов матрицы В (по теореме о базисе- Пусть S произв. конечная сист. векторов из ; л/нз подсистема системы S образует базис сис. S  когда число векторов в этой сис.совпадает с рангом сис. S, ). В таком случае вектор в будет линейно выражаться ч/з векторы , а => вектор в будет линейно выражаться и ч/з всю систему столбцов м.А. По вспомогательной лемме слу (1) совместна. ч.т.д.

12. Определитель квадратной матрицы и его свойства. Теорема Крамера.

Определителем квадратной матрицы над полем P называется число из поля P, которое обозначается , и которое равно сумме всевозможных слагаемых вида . Определитель квадратной матрицы - .

Минором элемента квадратная матрица n-го порядка называется определитель матрицы n-1 порядка, который получается из данной матрицы вычеркиванием i строки и j столбца. Обозначается .

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы А называется минор этого элемента взятый со знаком . Обозначим .

Свойства определителя n-го порядка:

1. А- квадратная матрица, тогда .

2. Если в матрице А все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определителя обязательно содержит элементы качества сомножетеля из нулевой строки (столбца), поэтому все слагаемые определителя будет равен нулю.

3. Если матрица В получется из квадратной матрицы А транспозиции двух строк (столбов), то определитель матрицы В отличается от знаком .

4. Если в квадратной матрице А имеется две одинаковых строки (столбца), то определитель такой матрицы равен нулю.

5. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведний элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраическое дополнение.

6. Сумма произведений элементов какой-либо строки квадратной матрицы на алгебраическое дополнение соответсвенных элементов другой строки (столбца) равен нулю. .

7. Если матрица В получается из квадратной матрицы А умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) на некоторе число , то .

8. Если матрица В получается из квадратной матрицы А прибавлением ко всем элементам какой-либо строки (столбца) соответсвенно элементов других строк (столбцов), умножить на одно и тоже число , то .

9. Если в квадратной матрице А все элементы какой-либо строки представляют собой сумму двух слагаемых , где , оличается от матрицы А i-ой строкой, элементы которой представляют собой сумму двух слагаемых В матрицы , в качестве элементов i строки берется первые слагаемые i строки в матрице А, а в матрице соответственно берутся вторые слагаемые матрицы А, и аналогично, , определяются в случае, когда все элементы j столбца представляют собой сумму двух слагаемых.

Формула для вычисления обратной матрицы - , где - матрица, которая получается из матрицы А заменой каждого элемента на его алгебраическое дополение с последующим транспланирование.

Th (Крамера): Если в слу число уравнений равно числу неизвестных и определенных матрицей системы , то система имееет единственное решение , где вычисляется по формулам: , где - определителоь матрицы, которая получается из матрицы слу заменой n-го столбца столбцом свободных членов.

Док-во: Рассмотрим произвольное слу состоящее из n уравнений и зависящих от n-переменных. (1). Т.к. , что , поэтому слу имеет единственное решение (2). Система равенств (2) равносильна след. матричному равенству: (3). Т.к. определитель , то для матрицы , поэтому имеем, что , поэтому , где . Обозначим через - матрицу, которая получена из матрицы А заменой к-столбца на столбец свободных членов, и разложим определитель по элементам к столбца. . Т.к. , то имеем получим . - ■

13. Векторное пространство. Базис и размерность.

Векторным пр-вом над полем Р назыв. непустое мн-во , на котором задана бинарная алгебраическая операция (+) и для каждого и каждого однозначно опред.элем. так, что будет выполнятся аксиомы 1-8:

1. ; 2) 3) Существует элемент такой, что (𝜣- нуль-вектор); 4) (-против. вектор); 5) (); 6) ; 7) 8) .

Элементы множества наз. векторами, а элеме.поля Р-скалярами. Если Р есть множество вещ. чисел, то век.пр-во над R назыв. вещественным век.пр-вом.

Свойста векторных пр-в: 1)

Примеры: 1) обозначим ч/з совокупность всевозможных векторов на пл-ти, т.е направ.отрезков с общим началом в некоторой т.О. Определим сумму 2 любых векторов из обычным образом (по правилу параллелограмма). Определяем далее произведение любого вектора на любое произвольное вещественное число также обычным образом вектор, длина которого |=| , который имеет тоже самое направление, что и х, если и противополож. направл.,. Роль нуль вектора в данном случае будет играть отрезок, начало и конец которого совпад. в т.О. Будут выполняться аксиомы 1-8. Т.о. мн-во относительно естес. операц. над векторами образ. веществен. векторное пр-во. 2) -векторное ариф.пр-во на полем Р. Обознач. через совокуп.всевозможных матриц размера

с элем. из поля Р. Из св-в сложен.матриц и умнож.матриц на скаляры вытекает, что это мн-во матриц образ.век.пр-во над полем Р. Имеем, в частности оказ.,что .3) Обозначим через -мн-во всех многочленов с вещественным коэф., степень котор.меньше, включая нулевой многочлен. Каждый многочлен можно рассм. как функцию из (век.пр-во свех функций опред. на все числов.оси). Сумма 2 мн-нов, степень которых меньше n, будет сново мн-н, степень которого меньше будет сново многочленом степени <n. Если рассм. мн-н, как функцию, то и все аксиомы будут выполн, поэтому образ. веществен.век.пр-во многочленов степени меньше .

Пусть произвольная система век. из век.пр-ва . Система век. наз.линейно зависимой, если найдутся скаляры , среди которых по крайней мере 1 не равен 0 такие, что . Система векторов назыв.линейно независимой, если равенство (1) никогда не выполняется, кроме случая

Свойства: 1) Если система век. содержит 0-вектор, то она л/з. 2) Если некоторая подсистема системы век. л/з, то и вся система л/з. 3) Если система век. л/нз, то любая её подсистема также л/нз.

Теорема: Пусть ,в произвольной системе век. из . Если век. в линейно выражается через векторы , а система векторов -л/нз, то вектор в единственным образом линейно выражается ч/з векторы .

Пусть – век. пр-во над полем Р, упорядоченная система векторов наз. базисом век.пр-ва если выполняется след. условия:1) век. л/нз; 2) любой вектор век.пр-ва линейно выражается через .

Теорема (о числе векторов): Пусть – век. пр-во над полем Р, -базис в , тогда любой базис век.пр-ва будет состоять также из -векторов.(фактически означает, что все базисы в век.пр-ве должны сост. из одного числа векторов).

Век. пр-во над полем Р наз.конечномерным, а целое неотрицательное число него размерностью, если выполн.условия:1)в век.пр-ве найдется л/нз сис.состоящ. из векторов.2)любая сист.вект.из содерж.более чем векторов уже л/з. Обозначается размерность .

Теорема (о связи размерности ):Пусть – век. пр-во над полем Р. Линейно независ. система вект. будет образов.базис вект.пр-ва когда число вект.в этой сист.=размерности этого вект.пр-ва,т.е.когда .

Док-во:=> Пусть вект.л/нз сист.вект.и док-м, что -базис век.пр-ва . Пусть b –произв.вект V , рассм.сист.век. b,по опред. размерн.она будет л/з. По теореме1 о л/з системе (Пусть -л/нз система векторов из и произвольный вектор b . Если система век. b,уже л/з, то вектор b линейно выраж.через вект.) вект. b линейно выраж.через вект.=> вект образуют базис .

<=Пусть -базис вект.пр-ва . Док,что Предположим, что ; по опред. размерности в век.пр-ве найд. л/нз сист.вект.сост.из m-вект., пусть это будут век. - л/нз, по первой части этой теоремы век.теореме о числе векторов в базисе m=n и следовательно .