3.Сравнения в кольце целых чисел и их свойства.

Целые числа и называются равноостаточными при делении на целое число , если остаток от деления и на равны.

Теорема: для того чтобы числа и были равноостаточными при делении на целое число , необходимо и достаточно, чтобы .

Следствие: если числа и равноостаточны при делении на и , то и равноостаточны при делении на .

Замечание: равноостаточные при делении на числа и называются также сравнимыми по модулю . Это обозначается так: .

Эта форма записи называется еще сравнением.

Два целых числа a и b сравнимы по модулю натурального числа n (или равноостаточны при делении на n), если при делении на n они дают одинаковые остатки. Запись этого акта выглядит так: .

Эквивалентные формулировки: a и b сравнимы по модулю n, если их разность

a – b делится на n, или если a может быть представлено в виде a = b + kn, где k –некоторое целое число.

Теорема: тогда и только тогда, когда .

Следствие: если и , то .

Основные свойства сравнений.

1. (рефлексивность).

2. Если , то (симметричность).

3. Если , , то (транзитивность)

4. Если и ,то .

5. Если и , то .

6. Если , то при любом натуральном .

7. Если и , то .

8. Если , то .

Свойство 1. Сравнения по одинаковому модулю можно почленно складывать.

Свойство 2. Слагаемое, стоящее в какой-либо части сравнения, можно переносить в другую часть, изменив его знак на обратный.

Свойство 3. К любой части сравнения можно прибавить любое число, кратное модулю.

Свойство 4. Сравнения по одинаковому модулю можно почленно перемножать.

Свойство 5. Обе части сравнения можно возвести в одну и ту же степень.

Как следствие из вышеперечисленных свойств, получаем

Свойство 7. Обе части сравнения можно разделить на их общий делитель, взаимно простой с модулем.

Свойство 8. Обе части сравнения и его модуль можно умножить на одно и то же целое число или разделить на их общий делитель.

Свойство 9. Если сравнение a є b имеет место по нескольким разным модулям, то оно имеет место и по модулю, равному наименьшему общему кратному этих модулей.

Свойство 10. Если сравнение имеет место по модулю m , то оно имеет место и по модулю d , равному любому делителю числа m .

Свойство 11. Если одна часть сравнения и модуль делятся на некоторое число, то и другая часть сравнения должна делиться на то же число.

4. Кольцо классов вычетов по данному модулю. Теоремы Эйлера и Ферма.

Множество всех чисел, сравнимых с a по модулю n называется классом вычетов a по модулю n, и обычно обозначается или . Таким образом, сравнение равносильно равенству классов вычетов .

Поскольку сравнение по модулю n является отношением эквивалентности на множестве целых чисел , то классы вычетов по модулю n представляют собой классы эквивалентности; их количество равно n. Множество всех классов вычетов по модулю n обозначается .

Операции сложения и умножения на индуцируют соответствующие операции на множестве :

Теорема (Ферма): если целое число не делится на простое число p, то , т. е. для того чтобы нечетное простое число было представимо в виде суммы двух квадратов, необходимо и достаточно, чтобы оно при делении на 4 давало в остатке 1. (или делится на p).

Доказательство:

Докажем, что для любого простого p и целого неотрицательного , делится на p. Доказываем индукцией по .

База. Для , и делится на p.

Переход. Пускай утверждение верно для . Докажем его для .

Но делится на p по предположению индукции. Что же касается остальных слагаемых, то . Для , числитель этой дроби делится на p, а знаменатель — взаимно прост с p, следовательно, делится на p. Таким образом, вся сумма делится на p. ч. т. д.

Для отрицательных и нечётных p теорему легко доказать подстановкой b=-. Для отрицательных и p=2, истинность теоремы следует из

Теорема (Эйлера): пусть m>1 , (a,m)=1 , j ( m ) – функция Эйлера, тогда:

.

Доказательство:

Пусть - все различные натуральные числа, меньшие m и взаимно простые с ним.

Рассмотрим всевозможные произведения для всех i от 1 до . Поскольку a взаимно просто с m и взаимно просто с m, то и также взаимно просто с m, то есть для некоторого j.

Отметим, что все остатки при делении на m различны. Действительно, пусть это не так, то есть существуют такие , что или . Так как a взаимно просто с m, то последнее равенство равносильно тому, что или . Это противоречит тому, что числа попарно различны по модулю m. Перемножим все равенства .

Получим: или

Так как число взаимно просто с m, то последнее равенство равносильно тому, что или . ч. т. д.

В математике кольцо определяется следующим образом. Все множество целых чисел Z разбивается на n классов, которые называются классами эквивалентности. Каждый класс содержит числа, попарная разность которых делится на n.

Элементами кольца являются классы эквивалентности. Их ровно n, так что, в отличие от множества целых чисел Z, кольцо содержит конечное число элементов. Операции с классами выполняются следующим образом: надо взять по одному представителю из каждого класса, произвести операцию и определить, в какой класс попадает результат. Этот класс и будет результатом операции. Легко показать, что он не зависит от выбора представителей. Все числа, принадлежащие одному классу эквивалентности, имеют один и тот же остаток при делении на m. Таким образом, класс эквивалентности однозначно определяется остатком от деления на n. Традиционно остаток выбирается неотрицательным, в диапазоне от 0 до n – 1. Остатки используют для обозначения классов, при этом используются квадратные скобки.