Лабораторная работа №2

Тема лабораторной работы: Отношения эквивалентности, порядка и толерантности.

Цели лабораторной работы:

• освоить основные виды отношений;

• изучить примеры алгоритмов работы с отношениями;

• закрепить практические навыки программирования.

1. Теоретический раздел

Любое подмножество  прямого произведения A₁  A₂  ...  A_n называется n-местным (n-арным) отношением, определенным на множествах A₁, A₂, ..., A_n.

  A₁  A₂  ...  A_n .

Другими словами элементы x₁,x₂,..,x_n (где х₁A₁, х₂A₂,..,х_nA_n) связаны отношением  тогда и только тогда, когда (x₁, x₂,..., x_n)  (x₁, x₂, ..., x_n ) - упорядоченный набор из n элементов.

Отношения, хотя и являются множествами, принято обозначать малыми буквами греческого алфавита , , ,..., , , .

Пример:

1) Пусть A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Тогда ={(x, y)}| x, yA, x-делитель y, х 5} может быть записано в частном виде:

={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (1,9), (1,10), (2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (2,10), (3,3), (3,6), (3,9), (4,4), (4,8), (5,5), (5,10)}

2) R-множество действительных чисел.  R₂=R  R.

={(x, y) | x, y R, x<y}, (1, 2)   ,

(2, 1)   т.к. x > y.

Свойства бинарных отношений.

Пусть  - бинарное отношение на множестве A. Тогда:

а)  - рефлексивно, если (х,х) для х.

(главная диагональ матрицы содержит только единицы)

б)  - антирефлексивно, если (х,х) х   .

(главная диагональ матрицы содержит только нули)

в)  - симметрично, если из того, что (х,y) следует, что (y,x).

(= - 1 матрица отношения симметрична относительно главной диагонали)

г)  - антисимметрично, если из того, что (х,y) и (y,x) следует, что x = y .

Замечание: Отношение  антисимметрично тогда и только тогда, когда из того, что ((x,y) и xy)(x,y).

д)  - транзитивно, если из того, что (х,y) и (y,z) следует, что (х,z)

Основные виды отношений.

Отношение эквивалентности () на множестве X — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

• Рефлексивность;

• Симметричность;

• Транзитивность.

Запись вида «» читается как «a эквивалентно b».

Бинарное отношение R на множестве X называется отношением порядка, или отношением частичного порядка, если имеют место:

• Рефлексивность;

• Транзитивность;

• Антисимметричность.

Множество X, на котором введено отношение частичного порядка, называется частично упорядоченным.

Отношение R, удовлетворяющее только условиям рефлексивности и транзитивности, называется квазипорядком, или предпорядком.

Отношение толерантности на множестве X — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:

• Рефлексивность;

• Симметричность;

• Антиранзитивность.

Множества в программировании.

В прошлой лабораторной работе мы рассмотрели представления множества с помощью конструкции set of, в этой лабораторной работе мы рассмотрим представление множеств с помощью массивов.

Общая форма описания одномерного массива на языке Turbo Pascal:

var <имя массива>: array [<НГИ> .. <ВГИ>] of <тип массива>;

где <НГИ> - нижняя граница индекса

<ВГИ> - верхняя граница индекса

Пример: одномерный массив целых чисел от 1 до 100:

var IntArray: array [1..100] of integer;

Общая форма описания двумерного массива на языке Turbo Pascal:

var <имя массива> array [<НГИ> .. <ВГИ>, <НГИ> .. <ВГИ>]

of <тип массива>;

где <НГИ> - нижняя граница индекса

<ВГИ> - верхняя граница индекса

Пример: двумерный массив (матрица) 10×10 целых чисел:

var IntMatrix: array [1..10, 1..10] of integer;