2. Отделение корней уравнения

Для отделения действительных корней полезно заранее определить верхние и нижние границы их расположения. Для этого используем следующую методику вычислений.

Кольцо, в котором расположены корни уравнения, вычисляют по следующей формуле:

r ≤ | x_*i| ≤R, (3.8)

где x_*i - точные корни уравнения,

,,

А = max,B=max.

Соответственно положительные корни будут находиться на интервале:

r < x_*i⁺<R,

а отрицательные:

- R < x_*i ^¯< -r.

Также интервал расположения корней можно определить графически. Приведем пример отделения корней для уравнения .

По формуле (3.8) кольцо, в котором расположены корни, будет [0.714 , 6]. Отсюда, положительные корни находятся на отрезке [0.714 , 6], а отрицательные – [-6 , -0,714]. Для уточнения границ отрезков можно построить график (рис.3.1.)

Рис. 3.1. График функции

Из рис.3.1. видно, что интервал для положительного корня можно сузить до отрезка [1 , 3]. Для дальнейшего вычисления положительного корня уравнения будем использовать полученный отрезок.

3. Метод дихотомии для решения нелинейных уравнений

Рассмотрим простейший метод уточнения значения корня с заданной точностью - метод деления отрезка пополам (дихотомии или бисекций). Если определен интервал нахождения корня [a,b], то этот алгоритм состоит из:

1. Задания значений и вычисления значений функции на концах отрезкаu=f(a),v=f(b).

2. Организации цикла, в котором последовательно выбранный отрезок делится пополам и осуществляется выбор того из двух отрезков, на котором функция меняет знак.

Выбор нужного отрезка можно реализовать так. Определяется середина отрезка и значение функции в этой точкеw=f(x). Если произведение функцийu*w< 0 , то интервал [a,b] сужается справа заменойb=x,v=w, иначе - слева заменойa=x,u=w. Изобразите данные ситуации на графике и разберитесь с предлагаемым способом выбора требуемого отрезка.

Реализацию метода дихотомии можно провести в Excel. Рассмотрим методику на примере уравнения. Начальный интервал неопределенности отрезок [1 , 3], заданная точность =0,001. Для нахождения приближенного корня уравнения понадобилось выполнить 19 шагов.

Таблица 1.Вспомогательная таблица для вычисления корней нелинейного уравненияметодом дихотомии

Решение уравнения можно произвести в пакетеMathcad. Ниже приведена функция для вычисления корней методом дихотомии в данном пакете.

Корень уравнения с использованием данной функции будет следующим 2.094551 и достигнут за 34 шага.

Более совершенный метод выбора точки деления отрезка [a,b] – метод хорд, в котором в качествеxвыбирается точка пересечения с осью абсцис прямойy=Ax+B(хорды), проведенной через концы интервалаu=f(a) иv=f(b).

a b x

u

Рис. 3.2.Графическая иллюстрация метода хорд

Из рисунка видно, что

, где. (3.9)

Описанные методы являются линейно сходящимися или, как говорят, сходящимися со скоростью геометрической прогрессии. В самом деле, абсолютные погрешности связаны соотношением, где знаменатель С=0.5. Метод половинного деления имеет среднюю скорость сходимости равнуюln2, в то время как метод хорд в зависимости от свойств функции может иметь как меньшую, так и большую среднюю скорость сходимости.Реализовать этот вопрос экспериментально в MS Excel.