5. Вычисление интегралов с заданной точностью
Уменьшая шаг, мы добиваемся большей точности результата. Это подсказывает алгоритм двойного пересчета, когда вычисления проводятся с шагом h, а затем с шагомh/2. Результаты сравниваются и если разность по модулю полученных квадратур удовлетворяет условию
,
где
наперед заданная точность, то расчет
заканчивается.
Детальнее проанализировав этот алгоритм, нетрудно заметить, что выполняются лишние действия. Действительно, когда проводится повторный расчет с уменьшенным вдвое шагом, происходит повторное вычисление значений функции в некоторых из узлов. Проиллюстрируем сказанное на методе трапеций.
1. Пусть n=1, т.е. на интервале [a,b] всего одна трапеция. Обозначим квадратурную формулу как
,
где
Если n=2, то
где
Далее при n=4:
,
где
.
Эти выкладки позволяют составить следующую рекуррентную формулу
,
(7.14)
где
;
.
Она позволяет сделать алгоритм двойного
пересчета более экономичным.
Вычисляя квадратурные формулы с шагом hиh/2, можно существенно улучшить результат, составляя комбинацию этих результатов, как это делалось в методах численного дифференцирования. Запишем
;
,
откуда нетрудно получить постоянную
,
подставляя которую во второе из этих
равенств, получим соотношение
(7.15)
Запишем его для метода трапеций в узлах
:
подставляя в (7.15 ), получим
формулу Симпсона для частичного интервала. Следовательно, комбинируя в методе двойного пересчета формулы трапеций, получаем метод парабол, имеющий точность на два порядка выше.
Обобщение этих выводов связано с формулой Ромберга:
,
(7.16)
где
,
а результаты удобно представить в виде
треугольной таблицы
где индекс iописывает изменение по строкам, аj- по столбцам.
Процедура заканчивается, когда диагональные элементы удовлетворяют условию:
(7.17)
Составим подпрограмму-функцию, реализующую метод Ромберга
Function TrRomb( a,b,eps: real; f1:fun): real;
const m=10;
var q:array{1..m,1..m] of real;
h,s:real; i,j,k,m1,m2: integer;
begin
h:=b-a; i:=1; m1:=1;
q[1,1]:=0.5*h*(f1(a)+f1(b));
repeat
s:=0; Inc(i);
if (i>=m) then
begin writeln(‘Error!’); Exit end;
for k:=1 to m1 do
s:=s+ f1(a+h*(k-0.5));
m1:=m1*2; m2:=1;
q[i,1] := 0.5*(q[i-1,1]+ h*s); h:=0.5*h;
for j:=2 to i do
begin m2:=m2*4;
q[i,j]:=(m2*q[i.j-1] - q[i-1.j-1])/(m2-1)
end;
until (abs(q[i.j] - q[i-1.j-1]) < eps);
TrRomb:= q[i.i]
end;
Приведем результаты расчетов в виде
треугольной таблицы для выбранного
нами теста
0.0000000000
1.5707963268 2.0943951024
1.8961188979 2.0045597550 1.9985707318
1.9742316019 2.0002691699 1.9999831309 2.0000055500
1.9935703438 2.0000165910 1.9999997525 2.0000000163 1.9999999962
1.9983933610 2.0000010334 1.9999999962 2.0000000001 2.0000000000 2.0000000000
Первый столбец – это уже известные нам результаты, когда в методе трапеций мы просто уменьшали шаг вдвое. Видно, что скорость сходимости в таком подходе невелика. Однако смещение по таблице вправо, т.е. комбинация с соответствующим весом предыдущих результатов говорит сама за себя.
Дальнейшее развитие этого алгоритма, связанное с изменением шага интегрирования в зависимости от функциональных колебаний, именуется адаптивной квадратурой. О нем Вы можете прочитать в специальной литературе.
Вычислим интеграл
:
Представим вычисления в пакете Excel. Значения функции представим в сеточном виде для более удобного их применения (табл.7.1.).
Таблица 7.1.Значение функции
-
i
xi
f(xi)
0
0
0
1
0,314159265
0,309016994
2
0,628318531
0,587785252
3
0,942477796
0,809016994
4
1,256637061
0,951056516
5
1,570796327
1
6
1,884955592
0,951056516
7
2,199114858
0,809016994
8
2,513274123
0,587785252
9
2,827433388
0,309016994
10
3,141592654
0
По методу прямоугольников значение интеграла функции равно 1.983523538.
По методу трапеций значение интеграла функции равно 1.983523538.
По методу парабол (Симпсона)значение интеграла функции равно 2.00010952.
Таким образом , метод парабол дает самые точные значения.
Представим данные вычисления в пакете MathCAD.
