Algebra_10kl_RU

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

Упражнения

1°. Изобразите угол, образованный поворотом луча OA около точки O на:

42

2. Тригонометрические функции числового аргумента

sin (числа α ) = sin (угла в α радиан ) cos (числа α ) = cos (угла в α радиан ) tg (числа α ) = tg (угла в α радиан ) ctg (числа α ) = ctg (угла в α радиан )

43

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

П р о д о л ж. т а б л. 7

3. Линии тангенсов и котангесов

Объяснение и обоснование

1. Определение тригонометрических функций. Из курса геометрии вам из вестно определение тригонометрических функций острого угла в прямоуголь ном треугольнике. Напомним их.

Синусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отно

шение противолежащего катета к гипотенузе: sinα = a (рис. 33). c

Косинусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется от

ношение прилежащего катета к гипотенузе: cosα = b .

c

Тангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется от

ношение противолежащего катета к прилежащему: tg α = a . b

Котангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется

отношение прилежащего катета к противолежащему: ctg α = b . a

В курсе геометрии было обосновано, что синус и косинус острого угла зави сят только от величины угла и не зависят от длин сторон треугольника и его расположения, то есть синус и косинус (а таким образом, и тангенс, и котан генс) являются функциями угла, которые называются тригонометриче( скими функциями.

Также в курсе геометрии с использованием окружности с центром в начале координат было введено определение тригонометрических функций для уг лов от 0° до 180°. Эти определения можно применить для нахождения триго нометрических функций любых углов. Напомним их (но теперь будем рас сматривать любые углы α от – до + ).

44

§ 3. Тригонометрические функции угла и числового аргумента

Возьмем окружность радиуса R с центром в начале координат. Обозначим точку окружности на положительной полуоси абсцисс через P0 (рис. 34). Необ ходимые нам углы будем образовывать поворотом радиуса OP0 около точки O. Пусть в результате поворота на угол α около точки O радиус OP0 займет поло жение OPα (говорят, что при повороте на угол α радиус OP0 переходит в ра диус OPα, а точка P0 переходит в точку Pα). Напомним, что при α > 0 радиус OP0 поворачивается против часовой стрелки, а при α < 0 — по часовой стрелке.

Пусть точка Pα имеет координаты (x; y). Тогда:

синусом угла α называется отношение ординаты точки Pα (x; y) окружно

сти к ее радиусу: sinα = Ry ;

косинусом угла α называется отношение абсциссы точки Pα (x; y) окруж

ности к ее радиусу: cosα = x ;

R

тангенсом угла α называется отношение ординаты точки Pα (x; y) окруж ности к ее абсциссе: tg α = xy (конечно, при x ≠ 0);

котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки Pα (x; y) окруж ности к ее ординате: ctg α = xy (при y ≠ 0).

Как и для тригонометрических функций острых углов, значения sinα, cos α, tg α, ctg α зависят только от величины угла α и не зависят от радиуса R *. Удобно взять R = 1, что позволит несколько упростить приведенные определе ния тригонометрических функций.

Окружность радиуса 1 с центром в начале координат будем называть еди( ничной окружностью.

Пусть при повороте на угол α точка P0 (1; 0) переходит в точку Pα (x; y) (то есть при повороте на угол α радиус OP0 переходит в радиус OPα) (рис. 35).

* Это следует из того, что две концентрические окружности гомотетичны (центр гомоте тии — точка О, а коэффициент гомотетии k — отношение радиусов этих окружностей), тогда и точки Pα на этих окружностях также будут гомотетичны. Таким образом, при перехо де от одной окружности к другой в определениях тригонометрических функций числитель и знаменатель соответствующей дроби умножаются на k, а значение дроби не изменяется.

45

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

Синусом угла α называется ордината точки Pα (x; y) единичной окружности: sin α = y.

Косинусом угла α называется абсцисса точки Pα (x; y) единичной окружности: cos α = x.

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки Pα (x; y) единич ной окружности к ее абсциссе, то есть отношение cossin αα .

Таким образом,

tg α = sinα (где cos α ≠ 0) . cosα

Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки Pα (x; y) еди

Пример Пользуясь этими определениями, найдем синус, косинус, тан

Аналогично находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, указанных в верхней строке таблицы 8.

46

§ 3. Тригонометрические функции угла и числового аргумента

ловых аргументов, если рассматривать тригонометрические функции числа α как соответствующие тригонометрические функции угла в α радиан. То есть:

синус числа α — это синус угла в α радиан; косинус числа α — это косинус угла в α радиан.

3. Линии тангенсов и котангенсов. Для решения некоторых задач полезно иметь представление о линиях тангенсов и котангенсов.

(Проведем через точку P0 единичной окружности прямую AP0, параллель ную оси Oy (рис. 37). Эта прямая называется линией тангенсов.

Пусть α — произвольное число (или угол), для которого cosα ≠ 0. Тогда

точка Pα не лежит на оси Oy и прямая OPα пересекает линию тангенсов в точке A. Поскольку прямая OPα проходит через начало координат, то ее

уравнение имеет вид y = kx. Но эта прямая проходит через точку Pα с коор динатами (cos α; sin α), значит, координаты точки Pα удовлетворяют урав нению прямой y = kx, то есть

47

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

сновывается, что xB = ctg α, таким образом,

котангенс угла (числа) α — это абсцисса соответствующей точки на линии котангенсов.

Вопросы для контроля

1.Сформулируйте определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

2.Сформулируйте определения тригонометрических функций произволь ного угла:

а) используя окружность радиуса R с центром в начале координат; б) используя единичную окружность.

3.Что имеют в виду, когда говорят о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе числа α?

Упражнения

1°. Постройте на единичной окружности точку Pα, в которую переходит точка P0 (1; 0) единичной окружности при повороте на угол α. В какой коорди натной четверти находится точка Pα в заданиях 3–6?

2. Найдите значение sin α, cos α, tg α, ctg α (если они существуют) при:

3°. Пользуясь определением синуса и косинуса, с помощью единичной окруж ности укажите знаки sin α и cos α, если:

48

1. Знаки тригонометрических функций легко определить, исходя из опреде ления этих функций.

(Например, sin α — это ордината соответствующей точки Pα единичной ок ружности. Поэтому значение sin α будет положительным, если точка Pα имеет положительную ординату, a это будет тогда, когда точка Pα находит

ся в I или II четверти (рис. 39). Если точка Pα находится в III или IV четвер ти, то ее ордината отрицательна, и поэтому sin α тоже отрицателен.

Аналогично, учитывая, что cos α — это абсцисса соответствующей точки Pα, получаем, что cos α > 0 в I и IV четвертях (абсцисса точки Pα положительна) и cos α < 0 во II и III четвертях (абсцисса точки Pα отрицательна) (рис. 40).

50

§ 4. Свойства тригонометрических функций

имеют одинаковые знаки, то есть в I и III четвертях, tg α < 0 и ctg α < 0 там,

где sin α и cos α имеют разные знаки, то есть во II и IV четвертях (рис. 41). )

2. Четность и нечетность тригонометрических функций.

(Чтобы исследовать тригонометрические функции на четность и нечетность,

заметим, что на единичной окружности точки Pα и P–α расположены сим метрично относительно оси Ox (рис. 42). Следовательно, эти точки имеют

одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Тогда cos(−α )= xP−α = xPα = cosα, sin(−α )= yP−α = −yPα = − sinα.

Таким образом, cos x — четная функция, а sin x — нечетная.

Поэтому tg x и ctg x — нечетные функции. )

Четность и нечетность тригонометрических функций можно применять

для вычисления значений тригонометрических функций отрицательных углов (чисел).

3. Периодичность тригонометрических функций. Множество процессов и явлений, которые происходят в природе и технике, имеют повторяющийся характер (например, движение Земли вокруг Солнца, движение маховика). Для описания процессов такого рода используют так называемые периоди ческие функции.

Функция y = f (x) называется периодической с периодом T ≠ 0, если для

любого x из области определения функции числа (x + T) и (x – T) также принадлежат области определения и выполняется равенство

f (x + T) = f (x – T) = f (x).

(Учитывая, что на единичной окружности числам (углам) α и α + 2πk, где k Z, соответствует одна и та же точка (рис. 43), получаем

sin (α + 2πk) = = sin α, cos (α + 2πk) = cos α. Тогда 2πk (k ≠ 0) является периодом функций sin x и cos x.

51