Algebra_10kl_RU

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

y = 1 x

Функция нечетная, поскольку ее областью определения является множе

ство, симметричное относительно точки О, и f (−x) = k = − k = −f (x). Таким

−x x

образом, ее график симметричен относительно начала координат (рис. 15).

Возрастание и убывание функции зависит от знака коэффициента k.

(Если х2 > х1 (то есть х2 – х1 > 0), то для сравнения значений f (х2) и f (х1) рассмотрим их разность:

На промежутке (0; + ) значение х1 > 0 и х2 > 0, следовательно, х1х2 > 0. На промежутке (– ; 0) значение х1 < 0 и х2 < 0, значит, х1х2 > 0. Учитывая, что х2 – х1 > 0 на каждом из промежутков (– ; 0) или (0; + ) при k > 0 из равенства (1) получаем f (х2) – f (х1) < 0, а при k < 0 получаем

f (х2) – f (х1) > 0.

При k > 0 на каждом из промежутков (– ; 0) и (0; + ), если х2 > х1, то

f(х2) < f (х1), таким образом, функция убывает на каждом из этих проме жутков.

При k < 0 на каждом из промежутков (– ; 0) и (0; + ), если х2 > х1, то

f(х2) > f (х1), следовательно, функция возрастает на каждом из этих про

межутков.)

Из курса алгебры известно, что график функции y = k (k ≠ 0) называется x

гиперболой (она состоит из двух ветвей). При k > 0 ветви гиперболы находят ся в І и ІІІ координатных четвертях, а при k < 0 — во ІІ и ІV четвертях (рис. 15).

З а м е ч а н и е. Характеризируя возрастание или убывание функции y = k

x

(k ≠ 0), следует помнить, что, например, функция y = 1 (рис. 16) убывает на

x

каждом из промежутков (–×; 0) и (0; +×), но на всей области определения (х ≠ 0) эта функция не является убывающей (и не является возрастающей). Действительно, если взять х1 = –1 и х2 = 1, то x2 > x1, но f (x2) = f (1) = 1,

22

§1. Повторение и расширение сведений о функции

аf (x1) = f (–1) = –1, то есть большему значению аргумента не соответствует

меньшее значение функции, и на всей ее области определения функция f (x) = 1

3. Функция у = ах2 (а ≠ 0). Как известно из курса алгебры, графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх при а > 0 (рис. 17, а) и вниз при а < 0 (рис. 17, б). Поскольку при х = 0 значение у = 0, то график всегда проходит через начало координат.

Область определения: х R, поскольку значение у = ах2 можно вычис лить при любых значениях х.

Функция четная, поскольку f (–x) = а(–х)2 = ах2 = f (x). Таким образом, ее график симметричен относительно оси Оу.

Для описания других свойств воспользуемся графиком функции у = ах2 (рис. 17). Эти свойства можно обосновать, опираясь на свойства функции у = х2 и на геометрические преобразования ее графика, которые будут рассмот рены далее в п. 1.3.

Область значений. При а > 0 график проходит через начало координат, а все остальные его точки находятся выше оси Ох. Если значение х увеличи вается до бесконечности, то и значение у также увеличивается до бесконечно сти (+ ), таким образом, у 0, то есть Е (у) = [0; + ).

Аналогично при а < 0 график также проходит через начало координат, но все остальные его точки находятся ниже оси Ох. Если значение х увеличи вается до бесконечности, то значение у уменьшается до минус бесконечности (– ), таким образом, у 0, то есть Е (у) = (– ; 0].

Возрастание и убывание. При а > 0 на промежутке (– ; 0] функция убы вает, а на промежутке [0; + ) — возрастает.

При а < 0 на промежутке (– ; 0] функция возрастает, а на промежутке [0; + ) — убывает.

Соответствующие графики приведены также в таблице 2.

Рис. 17

23

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

4. Квадратичная функция y = ax2 + bx + c (a ≠ 0). Из курса алгебры 9 класса известно, что функция вида y = ax2 + bx + c, где a, b, c — действительные числа, причем a ≠ 0, называется квадратичной. Ее графиком является пара бола, ветви которой направлены вверх при а > 0 и вниз при а < 0.

Абсцисса вершины этой параболы x0 = − b . Для обоснования этого доста

2a

точно в заданном квадратном трехчлене выделить полный квадрат:

(D = b2 – 4ac — дискриминант квадратного трехчлена ax2 + bx + c). Напомним, что в зависимости от знака дискриминанта D парабола или

пересекает ось Ох (D > 0), или не пересекает (D < 0), или касается ее (D = 0).

Основные варианты расположения графика функции y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) представлены в таблице 3.

Т а б л и ц а 3

а > 0

а < 0

Охарактеризуем свойства функции y = ax2 + bx + c (a ≠ 0), опираясь на эти известные нам графики.

Область определения: D (у) = R, поскольку значение y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) можно вычислить при любых значениях х.

Область значений. При а > 0 функция принимает все значения у у0, то есть Е (у) = [у0; + ).

24

§ 1. Повторение и расширение сведений о функции

При а < 0 функция принимает все значения у уо , то есть Е (у) = (– ; уо]. Четность и нечетность. При b = 0 получаем четную квадратичную функ

цию у = ϕ (х) = ax2 + c. Действительно, ϕ (–х) = a(–x)2 + c = ax2 + c = ϕ (х).

В общем случае (если b ≠ 0) функция y = f (x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) не является ни четной, ни нечетной, поскольку

f (–x) = a(–x)2 + b(–x) + c = ax2 – bx + c ≠ f (x) (и не равно –f (x)).

Возрастание и убывание. При а > 0 на промежутке (– ; хо] функция убы вает, а на промежутке [х0; + ) — возрастает.

При а < 0 на промежутке (– ; х0] функция возрастает, а на промежутке

[х0; + ) — убывает.

Поскольку при х = 0 значение у = с, то график всегда пересекает ось Оу в точке с.

Соответствующие графики при D > 0 приведены также в таблице 2.

Примеры решения задач

25

Задача 3 Постройте график функции у = х2 – 4х + 3*.

* Построение таких графиков с помощью геометрических преобразований графика функции у = х2 будет рассмотрено в пункте 1.3.

26

§ 1. Повторение и расширение сведений о функции

Вопросы для контроля

1.Какая функция называется линейной? Назовите свойства линейной функции. Какая линия является графиком линейной функции? Приве дите примеры линейных функций и их графиков.

2.Какая линия является графиком функции y = xk (k ≠ 0)? Приведите приме ры графиков функций y = xk при k > 0 и при k < 0. По графикам укажите свойства этой функции при k > 0 и при k < 0. Докажите нечетность функ

ции y = k (k ≠ 0). x

3.Какая линия является графиком функции у = aх2 (а ≠ 0)? Как расположен этот график при а > 0 и при а < 0? Приведите примеры графиков функций

у = aх2 при а > 0 и при а < 0. По графикам укажите свойства этой функции при а > 0 и при а < 0. Докажите четность функции у = aх2 (а ≠ 0).

4.Какая линия является графиком функции у = aх2 + bх + с (а ≠ 0)? Как

расположен график при а > 0 и при а < 0? Как найти абсциссу вершины графика функции у = aх2 + bх + с (а ≠ 0)? Приведите примеры графиков этой функции при а > 0 и при а < 0. По графикам укажите свойства этой функции при а > 0 и при а < 0.

Упражнения

1°. Постройте график функции:

1) у = 3х – 2; 2) у = –х + 4; 3) у = –2; 4) у = –5х; 5) у = 0; 6) у = 4х . Есть ли среди этих функций четные или нечетные? Ответ обоснуйте.

2*. По приведенным графикам функций y = kx + b (рис. 18) укажите знаки k и b в каждом случае.

Постройте график функции (3–5).

Рис. 18

27

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

5. 1) у = х2 – 6х + 7; 2) у = –х2 + 4х + 2; 3) у = 2х2 – 2х + 1; 4) у = –3х2 + 6х. 6*. По приведенным графикам функции y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) (рис. 19) ука

жите знаки a, b и c в каждом случае.

1.3.ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ГЕОМЕТРИ7 ЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ИЗВЕСТНЫХ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Т а б л и ц а 4

Преобразование графика функции y = f (x)

28

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

Объяснение и обоснование

Рассмотрим способы построения графиков функций с помощью геометри ческих преобразований известных графиков функций.

1. Построение графика функции y = –f (x). Сравним графики функций y = x2

и y = –x2 (см. первую строку табл. 4). Очевидно, что график функции y = –x2 можно получить из графика функции y = x2 симметричным отображением его относительно оси Ox. Покажем, что всегда график функции y = –f (x) можно получить из графика функции y = f (x) симметричным отображением относи тельно оси Ox.

(Действительно, по определению график функции y = f (x) состоит из всех точек M координатной плоскости, которые имеют координаты (x; y) = (x; f (x)). Тогда график функции y = –f (x) состоит из всех точек K координатной плоскости, имеющих координаты (x; y) = (x; –f (x)).

Точки M (x; f(x)) и K (x; –f (x)) расположены на координатной плоскости симметрично относительно оси Ox (рис. 20). Таким образом, каждая точ ка K графика функции y = –f (x) получается симметричным отображением относительно оси Ox некоторой точки M графика y = f (x). Поэтому

график функции y = –f (x) можно получить из графика функции y = f (x) его симметричным отображением относительно оси Ox. )

Это свойство позволяет легко обосновать построение графика функции y = | f (x) |. Имеем:

Следовательно,

график функции y = | f (x) | может быть построен так: часть графи ка функции y = f (x), лежащая выше оси Ox (и на самой оси), остает ся без изменений, а часть, лежащая ниже оси Ox, отображается сим метрично относительно этой оси.

Например, на рисунке 21 и в таблице 4 (строка седьмая) с использованием этого правила изображен график функции y = | 2х – 1 |.

30

§1. Повторение и расширение сведений о функции

2.Построение графика функции y = f (–x).

(Для построения графика функции y = f (–x) учтем, что в определении гра фика функции первая координата для точек графика выбирается произ вольно из области определения функции. Если выбрать как первую коор динату значение (–x), то график функции y = f (–x) будет состоять из всех точек T координатной плоскости с координатами (–x; y) = (–x; f (x)). На помним, что график функции y = f (x) состоит из всех точек M (x; f (x)).

Точки M (x; f (x)) и T (–x; f (x)) расположены на координатной плоскости симметрично относительно оси Oy (рис. 22). Таким образом, каждая точка T графика функции y = f (–x) получается симметричным отображением от носительно оси Oy некоторой точки M графика функции y = f (x). Поэтому

график функции y = f (–x) можно получить из графика функции y = f (x) его симметричным отображением относительно оси Oy. )

Эта свойство позволяет легко обосновать построение графика функции y = f (| x |). Имеем:

( ) f (x) при x 0 (график не меняется);

y = f x = f (−x) при x < 0 (симметрия относительно оси Oy).

Следовательно, для того чтобы получить график функции y = f (| x |) при x < 0 (то есть слева от оси Oy), необходимо отобразить симметрично относительно оси Oy ту часть графика функции y = f (x), которая лежит справа от оси Oy. То есть часть графика функции y = f (x), лежащая слева от оси Oy, вообще не ис пользуется в построении графика функции y = f (| x |)). Таким образом,

график функции y = f (| x |) строится так: часть графика функции y = f (x), лежащая справа от оси Oy (и на самой оси), остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси Oy.

Например, на рисунке 23 и в таблице 4 (строка восьмая) с использованием этого правила изображен график функции y = 2| x | – 1.

31