Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Algebra_10kl_RU

.pdf

Скачиваний:

127

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

5.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

Аналогично можно обосновать, что во всех случаях тригонометрические

функции от аргументов вида kπ ä α и (2k + 1) π ± α (k Z) можно привести

к тригонометрическим функциям от аргумента α по такому алгоритму:

если к числу α прибавляется число kπ, k Z (то есть число, которое изображается на горизонтальном диаметре единичной окружно сти), то название заданной функции не меняется, а если прибавля

ется число (2k + 1) 2π (то есть число, которое изображается на вер

тикальном диаметре единичной окружности), то название задан ной функции меняется на соответствующее (синус на косинус, коси нус на синус, тангенс на котангенс и котангенс на тангенс).

Знак полученного выражения определяется знаком исходного вы ражения, если условно считать угол α острым. )

В таблице 19 приведены основные формулы приведения. Все другие случаи могут быть приведены к ним с помощью использования периодичности соот ветствующих тригонометрических функций.

Т а б л и ц а 19

+ α

− α

3π

+ α

3π

− α

Укажем, что по формулам приведения cos(2π − α )= sin α, sin(2π − α )= cos α,

ctg(2π − α )= tg α, tg(2π − α )= ctg α. Если последние формулы записать справа на лево, то получим полезные соотношения, которые часто называют формулами

							π						π	:
дополнительных аргументов (аргументыα и							π	− α		дополняют друг друга до			2 )
							2
							2
		(	2		)				(	2		)
	sin α = cos		π	− α	,	cos α = sin				π	− α	,
	sin α = cos			− α	,	cos α = sin					− α	,

	(	2	)		(	2	)
tg α = ctg		π	− α ,	ctg α = tg		π	− α .
tg α = ctg			− α ,	ctg α = tg			− α .

Например, sin 60° = cos (90°–60°) = cos 30°; cos 89° = sin (90°–89°) = sin 1°.

§ 7. Формулы сложения и их следствия

Примеры решения задач

Задача 1 Вычислите с помощью формул приведения:

1) cos 210°;	2)	tg	3π	.

		4

Ре ш е н и е

1)X cos 210° = cos(180° + 30°) =

= − cos 30° = − 3 ;Y

2) X tg 34π = tg(2π + 4π )= −ctg 4π = −1. Y

К о м м е н т а р и й

Представим заданные аргументы так, чтобы можно было применить формулы приведения (то есть выделим в аргументе такие части, которые изоб ражаются на горизонтальном или вер тикальном диаметре единичной ок ружности). Например, 210° = 180° + + 30°. Конечно, можно представить аргумент и так: 210° = 270° – 60° и так же применить формулы приведения.

Задача 2*

Докажите тождество

cos(3π − α )

sin(2π + α )

− cos

(

3π

− α)= cos 2α.

(

+ α

)

tg(π + α )

К о м м е н т а р и й

Докажем, что левая часть тождества равна правой. Сначала используем формулы приведения, а потом упростим полученные выражения, применяя формулы: tg αæctg α = 1 и cos2 α – sin2 α = cos 2α. При упрощении выражений cos (3π – α) и tg (π + α) можно использовать как непосредственно формулы приведения, так и периодичность соответствующих функций. Например, учи тывая, что периодом функции cos x является 2π, получаем:

cos (3π – α) = cos (2π + π – α) = cos (π – α) = –cos α.

	cos(3π − α )				sin(	π	+ α )
	cos(3π − α )				sin(		+ α )
X					2
X		(2		)	tg(π + α )
	tg	π	+ α		tg(π + α )
	tg		+ α

Р е ш е н и е

− cos2 (32π − α )= (− ctgα ) tgα			− (− sinα ) =
		(− cos α ) cos α	2

= − cos2 α − sin2 α = cos2 α − sin2 α = cos2α. Y

−1

Вопросы для контроля

1.Проиллюстрируйте на примерах применение формул приведения. Объяс ните полученный результат.

2*. Докажите несколько формул приведения.

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

Упражнения

1. Вычислите с помощью формул приведения:

1) sin 240°;

2) tg 300°;

)

3) cos 330°;

4) ctg 315°;

(

4 )

5) cos

4π

;

6) sin

−

11π

;

7) tg

7π

;

8) ctg

−

3π

Вычислите:

1) cos 8° cos 37° – cos 82° cos 53°;

2) sin 68° sin 38° – sin 52° cos 112°.

Упростите выражение:

sin(

3π

− α )cos(

+ α )

sin(3π + α )sin(

5π

− α )

sin(π + α )cos(π − α )

;

1°)

ctg(

3π

− α )

;

2°)

tg(π − α )

;

3°)

sin(π −

2α )

tg(

3π

− α2)− cos(π − α) sin(3π + α)

; 5 ) tg 1°ætg 2°ætg 3°æ...ætg 87°ætg 88°ætg 89°.

(cos(3,5π − α )+ sin(1,5π + α ))2 − 1

Докажите тождество:

1°) 2 sin (90° + α) sin (180° + α) = –sin 2α;

2°) ctg 20°æctg 70° = 1;

sin(π − 2α )−

2sin

(

π − α

)

sin2

+ α

− cos2

α −

)

(

2 )

= −2 ctg α;

4*)

sin2 2α.

(

)

(

)

(

2 )

cos

− α

− sin2

tg2

+ α

− ctg2

α −

7.4.ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ ОДНОИМЕННЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУ

Та б л и ц а 20

1.Формулы суммы и разности тригонометрических функций

sin α+ sin β= 2 sin α+ β cos α− β			sin α− sin β= 2 sin	α− β cos α+ β
2		2		2	2

cos α+ cos β= 2 cos α+ β cos		α− β	cos α− cos β= −2 sin α+ β sin		α− β
2		2		2	2
tg α + tg β =	sin(α + β )		tg α− tg β=	sin(α − β)
tg α + tg β =	cos α cos β		tg α− tg β=	cos αcos β
	cos α cos β			cos αcos β

2. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

sinα sin β= 12 (cos(α−β)−cos(α+β)) cosα cos β= 12 (cos(α−β)+cos(α+β)) sinα cos β= 12 (sin(α−β)+sin(α+β))

§ 7. Формулы сложения и их следствия

	Объяснение и обоснование
1. Формулы суммы и разности тригонометрических функций.
( По формулам сложения
	sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y;
	sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y.
	Складывая почленно эти равенства, получаем
	sin (x + y) + sin (x – y) = 2 sin x cos y.	(1)
	Если обозначить
	х + у = α,	(2)
	х – у = β,	(3)
	то, складывая и вычитая равенства (2) и (3), имеем: x = α + β ,	y = α − β .
2		2

Тогда из равенства (1) получаем формулу преобразования суммы синусов в произведение:

sinα+ sinβ= 2 sin	α+ βcos	α− β .	(4)
	2	2

Словесно ее можно сформулировать так:

Сумма синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полусуммы этих аргументов на косинус их полуразности.

Если заменить в формуле (4) β на (–β) и учесть нечетность синуса: sin (–β) = –sin β, то получим формулу:

sinα− sin β= 2 sin	α− βcos	α+ β	.
	2	2

Разность синусов двух аргументов равна удвоенному произведению синуса полуразности этих аргументов на косинус их полусуммы.

Аналогично, складывая почленно равенства
cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y,				(5)
cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y,				(6)
получаем
cos (x + y) + cos (x – y) = 2 cos x cos y,				(7)
и, выполняя замены (2) и (3), имеем

	cos α+ cos β= 2 cos α + βcos	α − β	.
	2	2

Сумма косинусов двух аргументов равна удвоенному произведению косинуса полусуммы этих аргументов на косинус их полуразности.

Если вычесть почленно из равенства (5) равенство (6), то получим
	cos(x + y)− cos(x − y) = −2 sinxsiny.				(8)

Тогда		cos α− cos β= −2 sin α + βsin	α − β	.
		2	2

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

Разность косинусов двух аргументов равна: минус двойное произведе ние синуса полусуммы этих аргументов на синус их полуразности.

Для обоснования формулы преобразования суммы (разности) тангенсов достаточно применить определение тангенса и формулы сложения:

tg α + tg β =

sinα

sinβ

sin α cosβ + cos α sinβ

sin(α + β)

cos α

cos β

cos α cos β

cos α cosβ

Таким образом,

tg α+ tg β=

sin (α+ β)

(9)

cos αcosβ

Если в формуле (9) заменить β на (–β) и учесть нечетность тангенса (tg (–β) = –tg β) и четность косинуса (cos (–β) = cos β), то получим

tg α − tg β =	sin(α − β )	.	(10)

	cos α cosβ

Отметим, что формулы (9) и (10) справедливы только тогда, когда cos α ≠ 0

иcos β ≠ 0. )

2.Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму.

( Укажем, что в процессе обоснования формул преобразования суммы и раз ности синусов и косинусов в произведение мы фактически получили и фор мулы преобразования произведений тригонометрических функций в сум му. Действительно, если разделить обе части равенства (1) на 2 и записать полученное равенство справа налево, то получим:

		sin x cos y = 1	(sin(x − y) + sin(x + y))	.		(11)
	2
Аналогично из формулы (7) получим

		cos x cos y = 1	(cos(x − y) + cos(x + y))		,	(12)
		2
а из формулы (8) (после деления на –2) формулу

		sin x sin y = 1 (cos(x − y) − cos(x + y))			.	(13)
		2

Заменяя в формулах (11–13) значение x на α, а y на β, получаем запись этих формул, приведенную в таблице 20. )

Примеры решения задач

Задача 1 Преобразуйте заданную сумму или разность в произведение и, если возможно, упростите: 1) sin 75° + sin 15°; 2*) cos2 α – cos2 β.

К о м м е н т а р и й 1) В первом задании можно непосредственно применить формулу

sin α + sin β = 2 sin α + β cos α − β , а потом использовать табличные значения

2 2

sin 45° и cos 30°.

§7. Формулы сложения и их следствия

2)Во втором задании выражение cos2 α – cos2 β можно рассмотреть как раз ность квадратов и разложить его на множители, а затем к каждому из полученных выражений применить формулы преобразования разности или суммы косинусов в произведение. Для дальнейшего упрощения получен ного выражения используем формулу синуса двойного аргумента:

2 sin α + β cos α + β = sin(α + β ) і 2 sin α − β cos α − β = sin(α − β).

2	2	2	2
		Р е ш е н и е

1) Xsin75° + sin15° = 2sin		75° + 15°	cos	75° − 15°	= 2sin45°cos30° = 2		2	3	=	6	. Y
1) Xsin75° + sin15° = 2sin		2	cos	2	= 2sin45°cos30° = 2		2	2	=	2	. Y
		2		2			2	2		2
2) Xcos2 α − cos2 β = (cosα − cos β )(cosα + cos β)=
	= −2 sin α + β sin α − β 2 cos α + β cos α − β = − sin(α + β)sin(α − β). Y
	2	2		2		2
	Преобразуйте в произведение sin α + cos β.
Задача 2	Преобразуйте в произведение sin α + cos β.

К о м м е н т а р и й Мы умеем преобразовывать в произведение сумму синусов или косинусов.

Для перехода к таким выражениям достаточно вспомнить, что

cos β = sin(

− β)(или sin α = cos(

− α )).

Р е ш е н и е

)

X sin α + cos β = sin α + sin(

− β)

α + π − β

α −

− β

= 2 sin

cos

= 2 sin (α

2− β +

)cos (α

2+ β −

).Y

Упростите выражение

(sin8α − sin2α )(cos2α − cos 8α )

Задача 3

1 − cos6α

К о м м е н т а р и й Для упрощения заданной дроби можно попытаться сократить ее: для этого

представим числитель и знаменатель в виде произведений, которые содержат одинаковые выражения. В числителе используем формулы преобразования разности синусов и косинусов в произведение (а также нечетность синуса:

sin (–3α) = –sin 3α), а в знаменателе воспользуемся формулой 1− cos x = 2 sin2 x .

			Р е ш е н и е
X	(sin8α − sin2α )(cos2α − cos8α )	=	2sin3α cos5α (−2)sin5α sin(−3α )	=
	1 − cos6α		2sin2 3α

= 2 cos 5α sin 5α = sin 10α .Y

РАЗДЕЛ 1. Тригонометрические функции

	Докажите тождество 4 sin 70° −	1	= −2.
Задача 4*
		sin 10°

К о м м е н т а р и й Докажем, что левая часть тождества равна правой. После приведения к об

щему знаменателю преобразуем произведение синусов в разность косинусов,

а потом учтем, что cos 60° = 1 , а cos 80° = sin 10° (поскольку 80° + 10° = 90°).

Р е ш е н и е

X 4 sin 70° −

Задача 5*

(cos 60° − cos 80° ) − 1

4 sin 70° sin 10° −

sin 10°

− 2 cos 80° − 1

−2 cos 80°

−2 sin 10°

= −2. Y

sin 10°

Докажите, что если А, В, С — углы треугольника, то

sin A + sin B + sin C = 4 cos A cos B cos C .

2 2 2

К о м м е н т а р и й

Если A, B, C — углы треугольника, то A + B + C = π. Тогда C = π – (A + B), и по формулам приведения sin (π – (A + B)) = sin (A + B). После преобразования суммы синусов sin A + sin Bв произведение замечаем, что аргумент (А + В) вдвое

больше, чем аргумент A + B . Это позволяет записать sin (A + B) по формуле

синуса двойного аргумента и в полученной сумме вынести за скобки 2 sin A + B ,

а затем в скобках преобразовать сумму косинусов в произведение. Далее сле

дует учесть, что	A + B	=	π − C	=	π	−	C	, и применить формулы приведения.
					2
2		2				2

Р е ш е н и е

X Учитывая, что для углов треугольника C = π – (A + B), получаем sin A + sin B + sin C = sin A + sin B + sin (π – (A + B)) =

= 2 sin

A + B

cos

A − B

+ sin( A + B) = 2 sin

A + B

cos

A − B

+ 2 sin

A + B

cos

A + B

= 2 sin

A + B

(cos

A − B

+ cos

A + B

)= 2 sin

π − C

2 cos

cos

= 4 sin (

−

)cos

cos

= 4 cos

cos

. Y

§ 7. Формулы сложения и их следствия

Вопросы для контроля

1.Запишите формулы преобразования суммы и разности синусов или суммы и разности косинусов в произведение. Приведите примеры применения этих формул.

2*. Запишите формулы преобразования суммы и разности тангенсов. Приве дите примеры применения этих формул.

3*. Докажите формулы преобразования суммы и разности тригонометриче ских функций в произведение.

4. Приведите примеры применения формул:


sinxcosy =		1	(sin(x − y)+ sin(x + y)); cosxcosy =	1	(cos(x − y)+ cos(x + y));

2			2
sinxsiny =	1		(cos(x − y)− cos(x + y)).

2

5*. Докажите формулы, приведенные в вопросе 4.

Упражнения

1.Преобразуйте сумму (или разность) тригонометрических функций в про изведение и упростите:

1°) cos 152° + cos 28°;

2°) cos 48° – cos 12°;

3) cos 20° – sin 20°;

sin25

+ sin 15

;

5*) sin2 α – sin2 β;

6*) sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α;

sin25

− sin 15

7*) cos α + cos 2α + cos 3α + cos 4α.

2. Докажите тождество:

1°)

sin 75

+ sin 15

= −

2°)

sin α + sinβ

= tg

α+β

;

cos6α − cos10α

= 2 sin 2α;

cos 75 − cos 15

cos α + cosβ

sin8α

		sinα + sinβ			cos α − β
4)		sinα + sinβ		=			2	;
4)	sinα cos β + cos α sin β			=	cos		α + β	;
	sinα cos β + cos α sin β						α + β
							2
							2
6*)		sinα − cos β	= tg(α − β −			π	);
6*)		cos α − sin β	= tg(α − β −				);
		cos α − sin β	2		4

3. Преобразуйте в сумму:

7*)

(sin2α + sin6α )(cos2α − cos6α )			= sin4α;

	1 − cos 8α
	sin α + sin3α + sin5α + sin7α	= ctg2α.
	cos α − cos 3α + cos5α − cos7α

1) cos 45° cos 15°; 2) sin

cos

5π

;

3) sin 20° sin 10°; 4)

cos

cos π .

4. Вычислите:

1) 2 cos 20°æcos 40° – cos 20°;

2*) 4 sin 10°æsin 50°æsin 70°.

5*) Докажите, что при α + β + γ = π выполняется равенство:

sin α − sin β + sinγ = 4 sin α cos β sin

;

cosα + cosβ + cosγ = 1+ 4 sin α sin β sin

§8	ГРАФИКИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
	С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Т а б л и ц а 21

1. Построение графиков функции вида y = f (x) + g (x)

Если нам известны графики функций y = f (x) и y = g (x), то эскиз графика функции y = f (x) + g (x) можно построить так: изобразить в од# ной системе координат графики функций f (x) и g (x), а потом постро# ить искомый график по точкам, выполняя для каждого значения х (из области определения функции f (x) + g (x)) необходимые операции с от# резками, изображающими соответствующие ординаты f (x) и g (x).

Аналогично можно построить и схематические графики функций

y = f (x)æg (x) и y =

f(x)

Пример

Комментарий

Постройте график функции

Построим в одной системе коор

y = x2 +

динат графики функций слагае

мых: y = x2 и y =

(на рисунке они

показаны штриховыми линиями).

Для каждого значения х (кроме

х = 0, которое не принадлежит об

ласти определения заданной функ

ции) справа от оси Оy прибавляем

соответствующие отрезки — значе

ния функций f (x) и g (x) (обе функ

ции имеют одинаковые знаки),

слева от оси Оу — вычитаем (функ

ции имеют противоположные зна

ки). На рисунке синей линией изоб

ражен график функции y = x2 +

100

§8. Графики уравнений и неравенств с двумя переменными

Пр о д о л ж. т а б л. 21

2.Графики уравнений и неравенств с двумя переменными

Оп р е д е л е н и е. Графиком уравнения (неравенства) с двумя перемен

ными х и у называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х; у), где пара чисел (х; у) является решением соответ ствующего уравнения.

Графики некоторых уравнений и неравенств

3. Геометрические преобразования графика уравнения F (x; y) = 0

Преобразование

Пример

F (x – a; y – b) = 0

Параллельный перенос графика уравнения F (x; y) = 0

на вектор n(a; b).

101

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 4510 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.11.2019364.54 Кб2ajm_project_description_form_2012_en.doc
#
01.03.2025763.39 Кб1akimova_m_k_kozlova_v_t_psihologicheskaya_korre...doc
#
01.07.2025128.13 Кб0akushery.docx
#
08.05.20191.03 Mб158ALEXANDER KAMENSK1.doc
#
02.12.20181.91 Mб10ALFRED.doc
#
20.03.20155.2 Mб127Algebra_10kl_RU.pdf
#
20.07.201940.96 Кб3AMERICAN%20VALUES.doc
#
20.03.2015574.46 Кб237anatomia.doc
#
01.03.2025219.65 Кб5Animatsia.doc
#
20.03.201531.23 Кб30Antonyme.doc
#
30.04.201583.34 Кб27Arduino Uno Rev.3.pdf