Posobie_fizika_dlya_KSS__mekhanika

-21 -

Могут ли вектора скорости и ускорения составлять между собой тупой угол?

Как связаны между собой линейная и угловая скорость? Тангенциальное и угловое ускорения?

В каких системах отсчета выполняется классическое правило сложения скоростей?

В чем суть преобразований Галилея?

1 . 2 . О с н о в ы д и н а м и к и

1.2.1. Законы Ньютона

Если при изучении кинематики материальные объекты никак не проявляют свои свойства и в кинематических задачах исследуются чисто геометрические аспекты движения, то в динамике на первый план выходит исследование физических взаимодействий и их влияние на движение тел.

В основе динамики лежат три закона Ньютона. В элементарных учебниках по физике в последние годы предпринимались многочисленные попытки изменения формулировок законов Ньютона, на наш взгляд большей частью неудачные из-за абсолютизации выражения для силы, являющегося на самом деле условным соглашением.

Что касается первого закона Ньютона, или закона инерции, то здесь разночтения несущественны. Наиболее краткая формулировка выглядит так: свободное тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения относительно инерциальных систем отсчета. Иногда закон инерции формулируется как утверждение о существовании инерциальных систем отсчета. Эти формулировки эквивалентны.

Второй закон Ньютона стало «модным» формулировать в виде

В таком случае возникают два вопроса: что такое сила? и что такое масса тела? и как они могут быть определены через известные нам понятия? Почему бы тогда не сказать, что масса – это частное от деления силы на ускорение.

Далее мы покажем, что абсолютизация выражения для силы через ускорение приводит к существенным неудобствам, связанным с необходимостью введения продольной и поперечной масс для

- 22 -

релятивистских частиц. Кроме того, это выражение не обладает релятивистской ковариантностью, что подчеркивает случайный характер этого соотношения.

Лучше выглядит формулировка Кирхгофа: сила равна произведению массы на ускорение. Теперь это уже не физический закон, а определение. Но этого определения еще не достаточно, так как мы не знаем, что такое масса. Иногда возникает иллюзия, что массу можно доопределить экспериментально, например, с помощью центробежных весов, располагая по очереди различные тела на одинаковом расстоянии от оси вращения за счет подбора различной угловой скорости, а, следовательно, и ускорения. Однако при этом мы вынуждены неявно использовать третий закон Ньютона: любые взаимодействующие тела действуют друг на друга с силами одинаковой природы, равными по величине и противоположными по направлению.

Выхода здесь нет, кроме как признать, что третий закон Ньютона это постулат, а массы (покоя) это постоянные коэффициенты (постоянные множители в принципе наименьшего действия, впрочем, как и заряды частиц). Это отнюдь не противоречит утверждению, что динамическая масса тела является мерой его инертных и гравитационных свойств, а также, мерой полной энергии тела.

Иногда для того, чтобы попытаться спасти абсолютный характер 2го закона Ньютона утверждают, что сила есть первичное понятие, которое ни к чему не сводится и ни через что не выражается. Однако такое интуитивное определение силы недостаточно для обоснования механики; мало того, оно совсем бесполезно. Не важно знать, что такое сила, а важно знать, как еѐ измерить (Пуанкаре).

Так есть ли физический смысл во втором законе Ньютона, или это условное соглашение?

«Скрытый» смысл второго закона Ньютона заключается в двух утверждениях. Первое утверждение Пуанкаре называет обобщенным принципом инерции, который заключается в том, что ускорения тел зависят только от относительных положений этих тел и их относительных скоростей. Иными словами, взаимодействующие тела могут влиять только на ускорения других тел, но не на скорости или координаты непосредственно. Математик бы сказал, что движение всех частиц во вселенной определяются дифференциальными уравнениями второго порядка. Принцип этот далеко не случаен, так как ускорение это первая инвариантная величина, возникающая при дифференцировании радиуса – вектора классической частицы. Кажется

- 23 -

вполне оправданным принцип Маха, утверждающий, что различие между инерциальными и неинерциальными системами отсчета абсолютно и связано с распределением массы во вселенной [10].

Следствием обобщенного принципа инерции в случае свободных тел является классический принцип инерции.

Второй смысл закона Ньютона заключается в его линейном характере, нет перекрестных влияний взаимодействующих тел, что создает возможность введения массы тела и порождает принцип суперпозиции сил.

Рассмотрим чуть подробнее проблемы, которые возникают при

взаимодействия релятивистского электрона с электромагнитным полем,

поперечную массу электрона, при этом он также использовал постулат инвариантности заряда и форм инвариантности выражения для электромагнитной силы. Интересно, что Лоренц абсолютизировал наличие двух масс у электрона и считал, что это окончательный факт. Через год продольную и поперечную массу вычислил А. Эйнштейн в своей знаменитой работе «К электродинамике движущегося тела» (1905г.). При этом он допустил ошибку, что свидетельствует, повидимому, о том, что работу Лоренца он не читал. И лишь спустя два

года М. Планк указал, что из принципа наименьшего действия следует

ковариантное выражение F dP dt и при этом уже не возникает

необходимость введения двух масс для частиц. Удивительно то, что сам Ньютон формулировал закон именно в такой форме. Иногда пишут

верна. Трудно с этим согласиться, так как в обоих случаях мы имеем дело с условными соглашениями.

- 24 -

Тест №1. Изобразите силы, действующие в механической системе

равномерное движение

какие силы действуют на тело?

Рис.5

- 25 -

1.2.2. Приемы интегрирования уравнений Ньютона

Рассмотрим уравнение движения материальной точки при условии

двукратным интегрированием по времени, (пример - реактивное

t(v), обращая которую, находим v(t), (примердвижение тела в среде с

интегрирование обычно осуществляется с привлечением закона сохранения момента количества движения и закона сохранения энергии, (классический пример - задача о движении материальной точки в поле центральных сил).

Пример. Вычисление периода колебаний математического маятника. Запишем закон сохранения энергии для материальной точки, совершающей колебания в вертикальной плоскости под действием

масса, l -длина нити, -угол отклонения нити от вертикали, 0 - максимальный угол отклонения от вертикали.

К сожалению, интеграл не вычисляется в элементарных функциях, но легко вычисляется численными методами.

эллиптический интеграл 1-го рода.

- 26 -

1.2.3. Принцип относительности Галилея

Основывается на следующих постулатах:

1.В любой ИСО пространство однородно и изотропно.

2.Время однородно и абсолютно, т.е. одинаково протекает во всех ИСО. Скорость распространения сигнала может быть бесконечной.

3.Масса частиц одинакова во всех ИСО.

4.Координаты и время в двух ИСО связаны преобразованиями Галилея,

x x v t , y y , z z , t t - преобразования Галилея.

5. Любое механическое явление, при одинаковых начальных условиях

инвариантности величин, входящих в уравнения механики. Величина называется инвариантной, если она не меняется при соответствующих

Галилея. Сила также инвариантна, т.к. она зависит от относительных расстояний и скоростей. Таким образом, все величины, входящие во второй закон Ньютона инвариантны, следовательно, инвариантны и сами уравнения. Окончательно, принцип относительности Галилея можно сформулировать таким образом: все законы классической механики инвариантны относительно преобразований Галилея.

Типовые задачи динамики:

Задача №7. Тормозить или поворачивать? Водитель автомобиля видит стену, перпендикулярную направлению движения. Что меньше: тормозной путь при прямолинейном движении, или минимальный радиус поворота?

Задача №8. Оцените перегрузку, которую испытывает пилот, при посадке на палубу авианосца. Тормозной путь равен 100м, посадочная скорость 216км/час.

Задача №9. Шарик для пинг-понга падает с большой высоты. Чему равно ускорение шарика сразу после отскока от абсолютно упругой поверхности.

- 27 -

Задача №10 (№ 1.59 из сборника задач [5]). Частица движется вдоль

постоянные. В момент t=0 сила, действующая на частицу, равна F0. найти значение силы Fx в точках поворота и в момент, когда частица опять окажется в точке X=0.

Задача №11 (№ 1.60 из сборника задач [5]). найти модуль и направление силы, действующей на частицу массы m при ее движении

Задача №12 (№ 1.69 из сборника задач [5]). Небольшое тело m начинает скользить по наклонной плоскости из точки, расположенной над вертикальным упором. Коэффициент трения между телом и наклонной плоскостью k=0,14. При каком значении угла время соскальзывания будет наименьшим? Расстояние по горизонтали между точками старта и финиша считать постоянным.

откуда, после вычисления производной по :

Задача №13 (№ 1.84 из сборника задач [5]). Катер массы m движется по озеру со скоростью V0. В момент t=0 выключили его двигатель. Считая силу сопротивления пропорциональной скорости катера,

FrV , найти:

a)время движения катера с выключенным двигателем;

-28 -

b)скорость катера в зависимости от пути, пройденного с выключенным двигателем, а также полный путь до остановки.

Задача №14 (№ 1.93 из сборника задач [5]). Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке радиуса R. Коэффициент трения

Вопросы для контроля:

В чем различия между понятиями инерция и инертность?

Можно ли экспериментально доказать третий закон Ньютона?

Сформулируйте первый закон Ньютона

Какая из формулировок второго закона Ньютона правильна,

Мерой каких физических свойств является масса тела?

Что такое вес тела?

Как будет двигаться частица в однородном силовом поле?

Как следует интегрировать уравнение движения частицы, если сила, действующая на частицу, зависит только от скорости?

- 29 -

1.3. Гравитационное поле. Закон всемирного тяготения. Принцип эквивалентности масс

Идея о том, что между всеми телами действует универсальная сила притяжения, принадлежит Ньютону. Им же была установлена зависимость этой силы от расстояния между телами. Сделано это было гениально простым способом – путем вычисления центростремительного ускорения кругового движения Луны по орбите вокруг Земли. Это ускорение оказалось в примерно в 3600 раз меньше ускорения свободного падения на поверхности Земли. С учѐтом того, что Луна находится на расстоянии 60 земных радиусов, был сделан вывод об обратно квадратичной зависимости силы от расстояния. Заметим, что зависимость силы от расстояния может быть теоретически найдена на основании гипотезы центральных сил и из второго закона Кеплера, утверждающего, что секторальная скорость движения планеты постоянна. Впервые зависимость силы от

расстояния между телами в форме

экспериментально выяснено, что гравитационные свойства тел с высокой точностью пропорциональны их инертным свойствам (принцип эквивалентности масс), оказалось возможным введение в

закон всемирного тяготения инертных масс, что и было сделано в своѐ время Ньютоном, хотя и без обоснований.

Окончательная формулировка закона всемирного тяготения выглядит так: любые материальные точки притягиваются друг к другу

-30 -

сгравитационной силой, прямо пропорциональной произведению масс, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними и направленной по прямой, соединяющей эти точки.

После того как Ньютон прямыми вычислениями показал, что тело в форме шара создает во внешней области такую же напряженность, как и точечное тело, стало ясно, закон всемирного тяготения можно распространить на тела в форме произвольных шаров.

Вклассической теории тяготения гравитационная сила рассматривается как дальнодействующая, то есть передающаяся мгновенно. Взаимодействие выглядит таким образом, как если бы ктото заранее измерял расстояние между телами, затем вычислял квадрат этого расстояния (причем показатель степени равен точно двум, что тоже удивительно) и лишь затем «включал» силу тяготения. Очевидно, что такая точка зрения могла длительно удовлетворять только теологов, поэтому ѐще во времена Ньютона уже возникла идея о конечной скорости гравитационного взаимодействия. Окончательное поражение теория дальнодействия потерпела после создания специальной теории относительности, одним из выводов которой явилось утверждение о конечной скорости передачи информации, основанное на необходимости сохранения порядка следования событий в различных инерциальных системах отсчета.

Теория тяготения Ньютона нашла блестящее подтверждение при описании движения небесных тел. Малейшее отклонение планеты Уран от траектории, предсказанной законом всемирного тяготения, позволило математикам вычислить положение новой планеты Нептун на небесной сфере.

Взаключение отметим, что эквивалентность гравитационной и инертной массы в некоторой степени запутало ситуацию в физике, так как наличие однородного гравитационного поля эквивалентно действию силы инерции в неинерциальной системе отсчета, и мы не можем экспериментально проверить, существует ли реальное гравитационное поле или мы находимся в неинерциальной системе отсчета. Трудно согласиться с относительностью наличия гравитационного поля, с точки зрения современной физики реальность физических полей абсолютна и связана с наличием потоков энергии, импульса и потока импульса.

Задача №15. Вычислить среднюю плотность Земли по периоду

обращения низкоорбитального спутника, T 85мин .

Задача №16. Вычислить радиус геостационарной орбиты Земли.