§ 5 Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной.

Совершенно иной характер приобретает зависимость от параметра решений обыкновенных дифференциальных уравнений в случае, если малый параметр входит в уравнение множителем при старшей производной. Такие уравнения, называемые обычно сингулярно возмущенными уравнениями (объяснение термина см. ниже), возникают во многих разделах естествознания: в электро- и радиотехнике, механике, гидро- и аэродинамике и т. д. Например, колебания маятника малой массы ε описывает дифференциальное уравнение:

εx′′ + ax′ + b·sin x = 0.

Мы рассмотрим сначала простейший класс уравнений с малым параметром при старшей производной, а именно, уравнения вида:

εx′ = f(x), (1)

в котором f: R →R — непрерывно дифференцируемая функция, а ε — малый положительный параметр. Для уравнения (1) рассмотрим задачу Коши, определяемую начальным условием:

x(0) = . (2)

Нас интересует поведение решений задачи (1) – (2) при ε → 0. Правая часть уравнения (1) в нормальной форме, т. е. уравнения x′ =f(x) принципиально не может непрерывно зависеть от параметра ε. Поэтому такие уравнения и называют сингулярно-возмущенными в отличие от регулярно возмущенных уравнений, правая часть которых непрерывна по параметру.

Уравнение (1) при ε = 0 понижает порядок — становится в нашей ситуации дифференциальным уравнением нулевого порядка (т. е. функциональным):

f(x) = 0. (3)

Поэтому, в частности, решение уравнения (3) (имеется в виду решение обыкновенного дифференциального уравнения нулевого порядка, т. е. функция независимого аргумента t) не может удовлетворять произвольному начальному условию (2). Уравнение (3) (рассматриваемое как алгебраическое) в общем случае имеет конечное (возможно нулевое) число решений. Наша задача — выяснить можно ли, исходя из наличия информации о решениях уравнения (3), получить информацию о поведении решений задачи (1) – (2) при ε → 0.

Рассмотрим для прояснения ситуации случай, когда уравнение (3) имеет, например, три корня (см. рис. 1). Поле направлений уравнения (1), т. е. уравнения x′ =f(x), при достаточно малых ε > 0 устроено, как легко видеть, так: вне малых окрестностей нулей функции f оно почти вертикально, причем в полосе {(t, x): < x < } оно направлено "к прямой x = " (см. рис. 2а). Интегральные кривые уравнения (1) изображены на рис. 2б).

На этом рисунке видно, что к решениям x(t) ≡ и x(t) ≡ уравнения (3) не стремятся при ε → 0 никакие решения задачи (1) – (2) (за исключением, разумеется, самих этих решений). В то же время, к решению x(t) ≡ уравнения (3) стремятся при ε → 0 решения задачи (1) – (2), отвечающие начальному значению , лежащему в интервале (,). Решение x(t) ≡ называется устойчивым решением вырожденного (функционального) уравнения (3) (или говорят об устойчивом корне алгебраического уравнения (3)).

Оно характеризуется условием f′() < 0. Интервал (,), границами которого являются ближайшие к устойчивому корню корни уравнения (3), называется областью притяжения (или влияния) устойчивого решения уравнения (3).

Рис. 1.

Рис. 2.

Теорема о сингулярно возмущенном уравнении.

Пусть x(t) ≡ φ — устойчивое решение уравнения (3), а лежит в области притяжения корня φ. Тогда:

|(t) – φ| → 0 при всех t > 0; (4)

Здесь — решение задачи (1) – (2).

Задача 1. Выписав явный вид решения, докажите утверждение теоремы для уравнения:

εx′ = – 1.

Теорема о сингулярно возмущенном уравнении доказывается достаточно просто. Поскольку вне δ-окрестностей нулей функции f (δ — сколь угодно малое положительное число) |f(x)| ≥ M(δ) > 0, вне этих окрестностей фазовая скорость имеет порядок . Поэтому за время порядка ε фазовая точка попадает в δ-окрестность устойчивого решения φ уравнения (3). Легко показывается, что, попав в , фазовая точка уже ее (окрестность ) не покинет. Утверждение теоремы следует теперь из произвольности δ.

Задача 2. Докажите, что при любых Т > τ > 0 предельное соотношение (4) является равномерным по t ∈ [τ, T].

Уравнения второго и более высокого порядков с малым параметром при старшей производной, как легко видеть, приводятся к системам вида:

εx′ = f(t, x, y), y′ = g(t, x, y),

обычно называемым системами уравнений с малым параметром при части производных или сингулярно возмущенными системами; первое уравнение при этом называют уравнение быстрых движений, а второе — уравнением медленных движений. Мы рассмотрим геометрически более наглядный автономный случай, т. е. систему:

εx′ = f(x, y), (5)

y′ = g(x, y), (6)

предполагая, что f, g: → R — непрерывно дифференцируемые функции с равномерно ограниченными частными производными. Это гарантирует однозначную разрешимость задачи Коши для системы (5) – (6), задаваемой начальными условиями:

x(0) = , y(0) = . (7)

При ε = 0 порядок системы (5) – (6) по x понижается на единицу:

0 = f(x, y), (8)

y′ = g(x, y), (9)

(эту систему в теории сингулярно возмущенных уравнений называют обычно вырожденной). Систему (8) – (9) можно трактовать как одно дифференциальное уравнение на многообразии Γ решений уравнения F(x, y) = 0.

Потеря порядка приводит к необходимости отказа от одного из начальных условий. Поэтому для вырожденной системы рассматривается обычно задача Коши, выделяемая условиями:

y(0) = . (10)

Векторное поле (f(x, y), g(x, y)) системы (5) – (6) устроено так (см. рис. 3а). Вне малой окрестности многообразия Γ решений уравнения (8) (изображенного на рис. 3а жирной линией), в которой |f(x, y)| << ε, векторы поля почти горизонтальны. На самом же Γ векторы поля вертикальны. Анализ поля направлений показывает, что при малых ε в начальный момент времени фазовая точка системы (5) – (6) очень быстро (подчиняясь, по существу, только уравнению быстрых движений (5))попадает в окрестность той устойчивой кривой многообразия Γ, в области влияния которой находятся начальные данные (, ). Здесь пока неясно, что означают выделенные курсивом слова; мы определим их чуть позже. Затем фазовая точка движется вдоль устойчивого участка этой кривой (см. рис. 3б). Устойчивый участок многообразия Γ выделяется условием (x, y)< 0 (ср. с условием f ′(x) < 0 в предыдущей теореме). Область же влияния устойчивого участка многообразия Γ — это область влияния корня (см. рис. 3б) уравнения f(x, y) = 0 в описанном выше смысле.

Рис. 3.

После попадания фазовой точки системы (5) – (6) в малую окрестность многообразия Γ она движется приблизительно как фазовая точка вырожденной системы (8) – (9). Движение последней описывается следующим образом. Обозначим через h(y) именно то решение уравнения f(x, y) = 0, которое отвечает выбранному выше участку многообразия Γ. Другими словами, выразим из уравнения (8) x через y, причем из возможно нескольких решений этого уравнения выберем одно (именно его мы и обозначили через h(y)) так, чтобы точка (h(y), y) лежала на устойчивом участке многообразия Γ, в области притяжения которого находится точка (, ). Подставляя x = h(y) в уравнение (5), получим уравнение:

y′ = g[h(y), y], (11)

описывающее изменение координаты y решения системы (8) – (9).

Пусть ψ(t) — определенное на [0, T] решение задачи (11), (10), а

φ(t) = h[ψ(t)]. Предположим, что точка (φ(t), ψ(t)) лежит на устойчивом участке многообразия Γ, т. е. [φ(t), ψ(t)] < 0 при всех

t ∈ [0, T]. Тогда оказывается (φ(t), ψ(t)) есть как раз то решение задачи Коши (8) – (10), к которому стремятся при ε → 0 решения сингулярно возмущенной задачи Коши (5) – (7). Это фундаментальное утверждение теории сингулярно возмущенных уравнений более точно формулируется так.

Теорема А.Н. Тихонова. Пусть ( (t), (t)) — определенное на [0, T] решение задачи Коши (5) – (7). Тогда:

| (t) – φ(t)| → 0 при ε → 0 для всех t ∈ (0, T],

| (t) – ψ(t)| → 0 при ε → 0 для всех t ∈ [0, T].

Она представляет собой обобщение первой теоремы данного очерка, если считать, что уравнение (1) записано в виде сингулярно возмущенной системы εx′ = f(x), t′ = 1.

Теорема Тихонова перестает работать, в частности, в окрестности границы области определения непрерывной устойчивой ветви h(y) решений уравнения (8) (точка A на рис. 4). Здесь медленное движение фазовой точки опять может смениться быстрым (участок AB) и она (фазовая точка) с почти бесконечной скоростью перемещается в окрестность другой устойчивой ветви решений вырожденного уравнения (8) или уходит в бесконечность, если таковой нет. Точка A называется точкой срыва, а точка B — точкой падения. Участок быстрого изменения решения между точкой срыва и точкой падения обычно называют внутренним слоем. Явление срыва решения, по существу, представляет собой бифуркацию состояния равновесия системы (8) – (9), если считать в ней y медленно меняющимся параметром.

Рис. 4.

Особенно интересен случай, когда Γ имеет вид кубической параболы (см. рис. 5а). Похожее поле скоростей имеет, например, уравнение Ван дер Поля:

Рис. 5.

Можно доказать, что траектории соответствующей сингулярно возмущенной системы ведут себя так (см. рис. 5б). Начиная с произвольной точки (, ), фазовая точка быстро входит в окрестность устойчивой ветви многообразия Γ (скажем, для определенности, CD). Затем, медленно двигаясь вдоль этой ветви, она попадает в окрестность точки срыва D. Далее, подчиняясь уравнению быстрых движений, быстро переходит в окрестность точки падения A, затем — медленно — в окрестность точки срыва B и т. д., "наматываясь" на некоторый предельный цикл (см. рис. 5б).

Доказать это утверждение можно, например так. Определим на некотором отрезке MN трансверсальном к кривой AB (см. рис. 5б) отображение последования. Показать, что при достаточно малых ε оно отображает этот отрезок в себя (последнее доказывается достаточно сложно — нужно провести аккуратные оценки решения). Поскольку отображение последования непрерывно, оно имеет неподвижную точку, которая и порождает данный предельный цикл.

Периодическое решение, отвечающее вышеописанному предельному циклу, характеризуется чередованием участков быстрого и медленного его изменения (см. рис. 6). Автоколебания такого типа называются релаксационными колебаниями. Они широко распространены (особенно в радиотехнике).

Рис. 6.

В заключение отметим, что при исследовании сингулярно возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений весьма эффективными оказываются асимптотические методы.

Используемая литература:

1. А.А. Андронов, А.А. Витт, С.Э. Хайкин. Теория колебаний. Наука, М., 1981.

2. В.И. Зубов. Теория колебаний. Высшая школа, М., 1979.

3. М.А. Красносельский. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. Гостехиздат, М., 1956.

4. Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд-во иностр. лит., М., 1958.

5. В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. Гостехтеориздат, М.-Л., 1949.

6. В.В. Немыцкий, В.В. Степанов. Качественная теория дифференциальных уравнений. Гостехтеориздат, М.-Л., 1949.

7. Дж. Хейл. Колебания в нелинейных системах. Изд-во иностр. лит., М., 1966.

8. В.И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Наука, М., 1984.

9. Ю.Н. Бибиков. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд-во ЛГУ, Л., 1981.

10. И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд-во МГУ, М., 1984.

11. Р. Рейссиг, Г. Сансоне, Р. Конти. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. Наука, М., 1974.

12. А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И.И. Гордон, А.Г. Майер. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. Наука, М., 1967.

13. Дж. Марсден, М. Мак-Кракен. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. Мир, М., 1980.

14. Н.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов. Новые методы нелинейной механики. Гостехтеориздат, М.-Л., 1934.

15. Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. Наука, М., 1974.

16. Ю.А. Митропольский, О.Б. Лыкова. Интегральные многообразия в нелинейной механике. Наука, М., 1973.

17. А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов. Сингулярные возмущения в критических случаях. Изд-во МГУ, М., 1978.

18. Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов. Дифференциальные уравнения с малым параметром при старшей производной. Наука, М., 1975.