§3 Бифуркация

Термин бифуркация (букв. раздвоение) употребляется для обозначения качественной перестройки, изменения той или иной картины — в нашем случае фазового портрета обыкновенного дифференциального уравнения при изменении входящего в это уравнение параметра. Простейшим примером может служить, например, изменение фазового портрета системы:

при прохождении параметра ε через 0 (см. рис. 1): при ε < 0 фазовый портрет представляет собой устойчивый узел, а при ε > 0 — седло.

Рис. 1.

Начнем с описания локальных бифуркаций состояния равновесия динамической системы. Мы будем рассматривать автономную системы обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром вида:

x′ = f(x, ε), (1)

предполагая, что f : ×R → — непрерывно дифференцируемая функция. Допустим, что уравнение (1) при ε = 0 имеет стационарную точку : f(, 0) = 0. Будем говорить, что точка ε = 0 является точкой локальной бифуркации динамической системы (1) со стационарной точкой , если найдутся сколь угодно малые значения ε, при которых динамическая система (1) в окрестности точки не является локально топологически эквивалентной системе, отвечающей нулевому значению параметра.

Допустим, что у матрицы ∂f(x, ε)/∂x) (x, ε) = (, 0) нет собственных значений на мнимой оси. Тогда, в частности, в силу теоремы о неявной функции уравнение:

f(x, ε) = 0 (2)

локально однозначно определяетx через ε, т. е. в малой окрестности точки для любого достаточно малого ε найдется единственное решение уравнения (2), или, что то же, стационарная точка уравнения (1). Кроме того, поскольку решение и матрица A(ε) = ∂f(x, ε)/∂x) (x, ε)=(, 0), а следовательно и ее собственные значения, непрерывно зависят от ε, при малых ε числа n–[A(ε)] собственных значений этой матрицы с отрицательной вещественной частью и число n+[A(ε)] собственных значений этой матрицы с положительной вещественной частью не зависят от ε.

Задача 1. Докажите последнее утверждение.

Поэтому из теоремы Гробмана — Хартмана и теоремы о топологической эквивалентности линейных систем вытекает, что при малых ε все динамические системы (1) в окрестности своих стационарных точек локально топологически эквивалентны, и следовательно, ε = 0 не является точкой бифуркации.

Таким образом, чтобы точка ε = 0 была точкой локальной бифуркации динамической системы (1) со стационарной точкой x0 необходимо, чтобы матрица A(0) имела хотя бы одно собственное значение на мнимой оси.

Мы рассмотрим только два случая выполнения этого условия: когда A(0) имеет простое нулевое собственное значение и когда A(0) имеет пару простых комплексно сопряженных мнимых собственных значений.

Для иллюстрации первого случая рассмотрим одномерную динамическую систему:

x′ = – + ε (3)

Рис. 2.

(см. рис. 2). При ε < 0 эта система очевидно не имеет стационарных точек. При ε = 0 происходит рождение полуустойчивой стационарной точки, которая при ε > 0 превращается в две — устойчивую и неустойчивую. Эта бифуркация в некотором смысле типична. В многомерном случае соответствующая типичная бифуркация, отвечающая наличию у матрицы A(0) нулевого собственного значения, получается как результат приписывания к уравнению (3) гиперболической системы (рис. 3).

Рис. 3.

Рис. 4.

Задача 2. Обоснуйте рис Соответствующие фазовые портреты полной системы:

ρ′ = ρ(ε + α), φ′ = 1.

изображены на рис. 5. Поясним этот рисунок подробнее. При α < 0 в случае отрицательного ε у динамической системы:

= ,

= + (*)

нуль является экспоненциально устойчивым фокусом. Когда ε обращается в нуль, начало координат продолжает оставаться устойчивым фокусом, правда, уже не экспоненциально устойчивым.

Рис. 5.

Задача 3. Покажите, что амплитуда отвечающего этому циклу решения пропорциональна .

При положительном значении параметра α картина иная. При ε < 0 начало координат представляет собой экспоненциально устойчивое положение равновесия, окруженное неустойчивым предельным циклом (пропорционального радиуса). При ε = 0 этот цикл сливается с началом координат, опять же "передавая" ему свою неустойчивость, причем неустойчивость пока не экспоненциальная. Впоследствии, при ε > 0, начало координат становится экспоненциально неустойчивым фокусом.

Описанная бифуркация носит название бифуркации рождения цикла или бифуркации Пуанкаре — Андронова — Хопфа. Она, так же как и бифуркация седло-узла в некотором смысле типична. И опять же в многомерном случае соответствующая типичная бифуркация получается приписыванием к системе (*) гиперболической системы. Один из примеров (отвечающий случаю α < 0) изображен на рис. 6.

Рис. 6.

Бифуркация рождения цикла, отвечающая случаю α < 0, называется мягким возбуждением автоколебаний, сопровождающим потерю устойчивости стационарной точки, поскольку при возрастании параметра рождающийся цикл непрерывно зависит от ε. В противоположность этому, потеря устойчивости положения равновесия при α > 0 называется жестким возбуждением системы, т. к. фазовая точка, находившаяся при ε < 0 в окрестности устойчивого начала координат, при ε > 0 быстро "выбрасывается" из окрестности стационарной точки (например в окрестность имеющейся у системы удаленной устойчивой стационарной точки или удаленного устойчивого цикла).

В заключение очерка мы приведем несколько рисунков, иллюстрирующих типичные бифуркации предельного цикла динамической системы. Предположим у системы (1) при ε = 0 имеется предельный цикл и пусть G — соответствующая ему функция последования. Пользуясь теоремой о неявной функции, можно показать, что если у G′(0) нет единичного мультипликатора (т. е. собственного значения), то при малых ε у системы (1) есть единственный близкий к цикл близкого к периоду цикла периода.