§ 3.2. Постоянные ошибки. Астатические системы

Среди типовых режимов работы системы автомати­ческого управления, определяющих точность этой систе­мы, простейшими являются режимы работы при постоян­ной величине внешнего воздействия и при изменении внешнего воздействия с постоянной скоростью.

Найдем значение установившейся ошибки в замкнутой системе автоматического управления при постоянной ве­личине внешнего задающего воздействия

Пусть задана передаточная функция разомкнутой цепи

где N(s) и L(s) не содержит множителя s (свободные члены их равны единице).

Тогда передаточная функция замкнутой системы для ошибки будет равна

Согласно теореме о конечном значении, выражение установившейся ошибки принимает вид

По этой формуле с учетом (3.11) получаем

так как свободные члены многочленов N(s) и L(s) рав­ны единице.

Это значение ошибки называется статической ошиб­кой:

Ее можно столь же просто получить из дифференци­ального уравнения (3.12) как частное решение при .

Если же подавать на вход системы задающее воздей­ствие, изменяющееся с постоянной скоростью,

то и установившаяся ошибка ε как частное решение уравнения (3.12) тоже будет изменяться с постоянной скоростью. При достаточно длительном воздействии такое нарастание ошибки недопустимо.

Для ликвидации этого явления нужно изменить струк­туру системы так, чтобы многочлен L(s) не имел сво­бодного члена, т. е. чтобы

другими словами, передаточная функция разомкнутой цепи этой системы W(s) должна иметь нулевой полюс. В самом деле, при воздействии g(t)=g₀ + g₁t изобра­жение которого

по формуле (3.13) с учетом (3.11) и (3.16) получим

Следовательно, в такой системе при задающем воздей­ствии с постоянной скоростью не будет нарастающей ошибки. Это постоянное значение ошибки называется скоростной ошибкой

То же самое легко можно получить из дифференци­ального уравнения системы (3.12) при условии L(p)=pL₁(p), как частное решение, учитывая, что при воз­действии (3.15) имеем

При постоянном же задающем воздействии g(t) = const = g₀ в такой системе установившаяся ошибка будет равна нулю (ε_ст=0).

Итак, система, обладающая свойством (3.16), т. е. нулевым полюсом в передаточной функции разомкнутой цепи W(s), не будет иметь статической ошибки и даст постоянное значение скоростной ошибки.

Такая система, отличающаяся отсутствием статичес­кой ошибки, называется астатической системой в отличие от системы, не имеющей нулевого полюса в разомкнутом состоянии и обладающей вследствие этого статической ошибкой.

Относительно технических средств, с помощью кото­рых достигается астатизм системы, речь будет ниже в главе 6. Здесь можно только, вспоминая передаточные функции типовых звеньев (глава 1), сказать, что для этого необходимо присутствие интегрирующего звена.

Очевидно, что все следящие системы и системы про­граммного управления, имеющие дело с переменным за­дающим воздействием, долиты проектироваться как ас­татические. В системах же автоматического регулирова­ния, настраиваемых на поддержание постоянного значе­ния регулируемой величины, допустимо иметь и стати­ческие ошибки (астатизма не требуется).

В следящей системе (рис. 3.2) интегрирующим зве­ном, создающим астатизм, является сам исполнительный

электродвигатель. В самом деле, угловая скорость вала двигателя в установившемся режиме пропорциональна ве­личине управляющего напряжения на входе. Поэтому угол поворота вала (выходная величина системы) будет пропорционален интегралу от входного управляющего напряжения.

Как видно из формул ошибок (3.14) и (3.17), для уменьшения величины ошибки нужно добиваться доста­точно большого значения общего коэффициента усиле­ния К разомкнутой цепи проектируемой системы. Поэ­тому величина К именуется добротностью системы.

Можно строить системы автоматического управления также с астатизмом второго и более высокого v-го поряд­ка, когда многочлен L(s) имеет вид соответственно

т. е. с двойным пулевым полюсом или пулевым полюсом ν-го порядка в передаточной функции W(s) разомкнутой цепи.

Тогда, если мы возьмем задающее воздействие в виде

то по формуле (3.13) с учетом (3.11) и (3.18) в системе с астатизмом ν-го порядка получим постоянную ошибку

а все первые ν членов задающего воздействия (3.19) бу­дут иметь нулевую установившуюся ошибку.

Здесь рассматривалось свойство астатизма системы ав­томатического управления но отношению к задающему воздействию. Может идти речь и об астатизме системы но отношению к возмущающему воздействию. Если воз­мущающее воздействие f(t) приложено в отличном от задающего g(t) месте, то условие астатизма при этом будет другим.

Поскольку в этом случае отклонение регулируемой ве­личины х обусловлено возмущающим воздействием, то надо будет пользоваться передаточной функцией замкну­той системы но возмущению

причем согласно (2.20) при g(t)=0 получаем

или же дифференциальным уравнением

Как видно, для астатизма системы по отношению к возмущающему воздействию потребуется наличие нуле­вых корней в многочлене R(s).