
- •Глава 1 элементы линейной алгебры
- •1. 1. Определители
- •1) 2)3)4).
- •1.2. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера
- •1.3. Матрицы
- •1.4. Решение систем линейных уравнений в матричной форме
- •1); 2);
- •Глава 2 аналитическая геометрия в пространстве
- •2.1. Прямоугольная декартова система координат в пространстве
- •2.2. Простейшие задачи аналитической геометрии в пространстве
- •2.3. Векторная алгебра
- •1) ; 2).
- •2.2. Прямая и плоскость в пространстве
- •2. Уравнения прямой в пространстве
- •Глава 1
- •Глава 2
- •17. ,. 18.. 19.. 20.,. 21.. 23.,,,. 24.,,. 25.,,,,,,. 26.,
2. Уравнения прямой в пространстве
Прямую в пространстве
всегда можно определить как линию
пересечения двух непараллельных
плоскостей. Если уравнение одной
плоскости
,
уравнение второй плоскости
,
тогда уравнение прямой задаётся виде
здесь
неколлинеарен
.
Эти уравнения называютсяобщими
уравнениями
прямой в пространстве.
Канонические уравнения прямой
Любой ненулевой вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.
Если известна
точка
прямой и её направляющий вектор
,
то канонические уравнения прямой имеют
вид:
.
(9)
Параметрические уравнения прямой
Пусть заданы канонические уравнения прямой
.
Отсюда, получаем параметрические уравнения прямой:
(10)
Эти уравнения удобны при нахождении точки пересечения прямой и плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через две точки
Уравнение прямой,
проходящей через две точки
и
имеет
вид:
.
Угол между прямыми
Угол между прямыми
и
равен углу между их направляющими векторами. Следовательно, его можно вычислить по формуле (4):
.
Условие параллельности прямых:
.
Условие перпендикулярности плоскостей:
.
Расстояние точки от прямой
Пусть
дана точка
и прямая
.
Из канонических
уравнений прямой известны
точка
,
принадлежащая прямой,и
её направляющий
вектор
.
Тогда расстояние точки
от прямой равно высоте параллелограмма,
построенного на векторах
и
.
Следовательно,
.
Условие пересечения прямых
Две непараллельные прямые
,
пересекаются тогда и только тогда, когда
.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Пусть заданы прямая
и плоскость
.
Угол
между ними можно найти по формуле
.
Задача 73. Написать канонические уравнения прямой
(11)
Решение. Для того чтобы записать канонические уравнения прямой (9), необходимо знать любую точку, принадлежащую прямой, и направляющий вектор прямой.
Найдём вектор
,
параллельный данной прямой. Так как он
должен быть перпендикулярен к нормальным
векторам данных плоскостей, т. е.
,
,
то
.
Из общих уравнений
прямой имеем, что
,
.
Тогда
.
Так как точка
любая точка прямой, то её координаты
должны удовлетворять уравнениям прямой
и одну из них можно задать, например,
,
две другие координаты найдём из системы
(11):
.
Отсюда,
.
Таким образом, канонические уравнения искомой прямой имеют вид:
или
.
Задача 74. Вычислить расстояние между параллельными прямыми:
и
.
Решение.
Из канонических уравнений первой прямой
известны координаты точки
,
принадлежащей прямой, и координаты
направляющего вектора
.
Из канонических уравнений второй прямой
также известны координаты точки
и координаты направляющего вектора
.
Расстояние между
параллельными прямыми равно расстоянию
точки
от второй прямой. Это расстояние
вычисляется по формуле
.
Найдём координаты
вектора
.
Вычислим векторное
произведение
:
.
Тогда
Задача 75.
Найти точку
симметричную точке
относительно прямой
.
Решение.
Запишем уравнение плоскости перпендикулярной
к данной прямой и проходящей через точку
.
В качестве её вектора нормали
можно взять направляющий вектор прямой.
Тогда
.
Следовательно,
.
Найдём точку
точку
пересечения данной прямой и плоскости
П. Для этого запишем параметрические
уравнения прямой, используя уравнения
(10), получим
Далее, решим систему, в которую входит уравнение плоскости и параметрические уравнения прямой:
Следовательно,
.
Пусть
точка
симметричная точке
относительно данной прямой. Тогда точка
середина
отрезка
.
Для нахождения координат точки
используем формулы координат середины
отрезка:
,
,
.
Получим
,
,
.
Итак,
.
Задача 76.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через прямую
и
а) через точку
;
б) перпендикулярно
плоскости
.
Решение. Запишем общие уравнения данной прямой. Для этого рассмотрим два равенства:
Это означает, что
искомая плоскость принадлежит пучку
плоскостей с образующими
и её уравнение может быть записано в
виде (8):
(12)
а) Найдём
и
из условия, что плоскость проходит через
точку
,
следовательно, её координаты должны
удовлетворять уравнению плоскости.
Подставим координаты точки
в уравнение пучка плоскостей:
.
Найденное значение
подставим в уравнение (12). получим
уравнение искомой плоскости:
б) Найдём
и
из условия, что искомая плоскость
перпендикулярна плоскости
.
Вектор нормали данной плоскости
,
вектор нормали искомой плоскости
(см. уравнение пучка плоскостей (12).
Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю. Следовательно,
.
Отсюда,
Подставим найденное
значение
в уравнение пучка плоскостей (12). Получим
уравнение искомой плоскости:
Задачи для самостоятельного решения
Задача 77. Привести к каноническому виду уравнения прямых:
1)
2)
Задача 78.
Написать параметрические уравнения
прямой
,
если:
1)
,
;
2)
,
.
Задача 79.
Написать уравнение плоскости, проходящей
через точку
перпендикулярно прямой
Задача 80.
Написать уравнения прямой, проходящей
точку
перпендикулярно плоскости
.
Задача 81. Найти угол между прямыми:
1)
и
;
2)
и
Задача 82. Доказать параллельность прямых:
и
.
Задача 83. Доказать перпендикулярность прямых:
и
Задача 84.
Вычислить расстояние точки
от прямой:
1)
;
2)
.
Задача 85. Вычислить расстояние между параллельными прямыми:
и
.
Задача 86.
В уравнениях прямой
определить параметр
так, чтобы эта прямая пересекалась с
прямой и найти точку их пересечения.
Задача 87.
Показать, что прямая
параллельна плоскости
,
а прямая
лежит в этой плоскости.
Задача 88.
Найти точку
симметричную точке
относительно плоскости
,
если:
1)
,
;
2)
,
;.
Задача 89.
Написать уравнение перпендикуляра,
опущенного из точки
на прямую
.
Задача 90.
Найти точку
симметричную точке
относительно прямой
.
ОТВЕТЫ