7.3. Численные методы решения уравнений,

ВЫЧИСЛЕНИЙ, ПОИСКА ЭКСТРЕМУМОВ

Численные методы являются одним из разделов прикладной математики. Это – методы приближенного решения математических задач путем сведения их к выполнению конечного числа арифметических действий над числами. В численных методах исследуется вопрос о точности получаемых решений и надежности методов их получения. Для одной и той же задачи, например, решения нелинейного уравнения существует несколько методов: деления отрезка пополам, золотого сечения, Ньютона – Рафсона. Обоснование выбора эффективного метода для решения конкретной системы уравнений или расчета функции и есть основная проблема численных методов.

Системы дифференциальных уравнений в частных производных (СДУЧП) и системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) решаются путем сведения их к системам алгебраических (нелинейных) уравнений (САУ) и системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Кроме того, значительная часть задач сводится к алгебраическим уравнениям, поэтому большую роль играют методы решения этого класса уравнений. Одной из распространенных групп методов решения алгебраических уравнений являются методы итерации.

Кроме этой группы методов существуют методы решения линейных уравнений, учитывающие их особенность: метод Гаусса, метод ВН – матриц и целый ряд других. Большое внимание к решению СЛАУ объясняется тем, что многие задачи решения уравнений сводятся к таким системам.

Помимо решения систем уравнений в численных методах разработаны способы вычисления функций, интегралов, производных, которые позволяют выполнять расчеты с заданной точностью с наименьшими затратами ресурсов. Широкое использование в инженерно – технических расчетах получили методы интерполяции и экстраполяции, позволяющие по некоторым известным точкам функции получить ее значения или между этими точками или вне области их определения.

Для решения задачи оптимизации необходимо уметь находить экстремум целевой функции. Решения этих задач также хорошо развиты в численных методах. Особенно широкое применение получили методы, основанные на вычислении градиента функции.

На основе выводов численных методов создают алгоритмы решения математических задач.

7.4.Алгоритмы задач проектирования

Понятие алгоритма является одним из основополагающих понятий современной науки и техники. Алгоритм – это описание набора правил, в результате выполнения которых от исходных данных переходят к искомому результату. Цепочку действий называют алгоритмическим процессом, а каждое действие – элементарным шагом или просто шагом алгоритма.

Алгоритмы классифицируются в зависимости от видов задач, для решения которых они предназначены. Алгоритмы решения задач численных методов описывают способы получения решений многих задач вычислительной математики. На основе этих алгоритмов создаются стандартные программы, объединяемые в ППП. Эти программы в качестве исходных данных должны получать сведения о проектируемом объекте. Такие данные подготавливаются в соответствии с алгоритмами обработки информации. Они позволяют искать, сортировать, перекодировать, корректировать информацию, необходимую для расчетов. Алгоритмы проблемной ориентации описывают решения общих инженерно – технических задач: статистическая обработка результатов, графическое представление результатов вычисления. Алгоритмы предметной ориентации направлены на получение результатов о тех или иных объектах проектирования. Алгоритмы решения системных задач ЭВМ создаются для организации работы ОС, обработки файлов, управления процессом вычисления.