1.2. Особенности процессов в нелинейных сау

Система автоматического управления называется нелинейной, если в ней содержится хотя бы один нелинейный элемент. Это приводит в общем случае или к системе нелинейных дифференциальных и алгебраических уравнений, или к единому нелинейному дифференциальному уравнению САУ.

Рисунок 1 - Схема нелинейного элемента

На структурных схемах нелинейные элементы изображаются в виде, как это представлено на рисунке 1, где- входной, а- выходной сигналы.

Из-за наличия нелинейных элементов в нелинейных САУ проявляются свойства, которых нетв системах линейных.

Рисунок 2 - Фазовые портреты нелинейнойСАУ

Главноеиз них заключается в особойчувствительности нелинейных САУ к начальным условиям и внешним возмущениям. Проявляется это в наличии устойчивых периодических режимов -автоколебаний, а также во влиянии внешних возмущений на устойчивость нелинейной системы. Эти явления в линейных САУ отсутствуют как таковые.

Из-за особенностей нелинейных систем для их исследования было введено понятие так называемого фазового пространства. Обычно это пространство, координатами (фазами) которого являются регулируемая величинаи ее производные до-го порядка, где- порядок САУ.

Чаще всего для исследования нелинейных систем используют частный случай фазового пространства - так называемую фазовую плоскость. Она представлена на рисунке 2, где в качестве оси абсцисс выступает регулируемая величина, а в качестве оси ординат используется ее производная.

Если нелинейная САУ устойчива (неустойчива) вблизи начала координат фазового пространства, то говорят, что она устойчива (неустойчива) в “малом”. Если нелинейная САУ устойчива (неустойчива) вдали от начала координат, то говорят, что такая система устойчива (неустойчива) в “большом”. Оба эти состояния - и “большое”, и “малое” - разделяет граничная поверхность, которая может характеризовать или границу области устойчивости по возмущениям, или автоколебательный процесс.

Поведение нелинейной САУ в фазовом пространстве отображается так называемой фазовой траекторией. Под ней понимают графическое изображение пути из любого начального состояния САУ в любое её конечное состояние. Совокупность фазовых траекторий часто называютфазовым портретом. На рисунке 2 представлен фазовый портрет устойчивой в “малом” (из- в ноль) и неустойчивой в “большом” (из- в бесконечность) нелинейной системы.

1.3. Метод фазового пространства

Основу метода фазового пространствасоставляют все способы, позволяющие изобразить траекторию движения САУ из одного состояния в другое в соответствующем фазовом пространстве. Особенно наглядно представляется движение САУ на фазовой плоскости, если известны аналитические формулы для некоторых видов процессов.

Пусть САУ переходит из одного состояния в другое по экспоненте

. (3)

Следовательно,

. (4)

Рисунок 3 - Фазовые траектории

На фазовой плоскости выражение представляет собой уравнение прямой, проходящей через начало координат. При отрицательной величине параметрапроцесс (3) затухает со временем. Следовательно, стрелка на прямой направлена к началу координат комплексной плоскости (см. рисунок 3). При положительной величинепрямаяуходит в бесконечность, а стрелка направлена от начала координат комплексной плоскости. На рис.3 представлены соответствующие траектории движения системы (3). При этом.

Найдём теперь траекторию движения характеристической точки на фазовой плоскости, если процесс имеет форму синусоиды

. (5)

При этом для скорости процесса справедливо соотношение

. (6)

После возведения в квадрат выражений (5),(6) и несложных преобразований (с учётом тождества ) можно получить выражение

. (7)

Это уравнение эллипса с полуосями и. Как следствие, при представлении синусоиды (5) на фазовой плоскости будет наблюдаться движение характеристической точкипо эллипсу (7). Его же часто называютциклом.

Циклы могут быть устойчивые и неустойчивые. Если характеристическая точка стремится удалиться от цикла (7), то его называютнеустойчивым.Если эта точка стремитсяк циклу(7) и из “малого”, и из “большого”, то его называютустойчивым. Частные случаи устойчивых и неустойчивых циклов представлены на рисунке 4.

В случае устойчивого цикла фазовые траектории «навиваются» на эллипс, а в случае неустойчивого - уходят от него в ноль или в бесконечность.