4.2. Массивы
Массив – структура данных, характеризуемая:
фиксированным набором однотипных элементов;
каждый элемент имеет уникальный набор значений индексов.
Количество индексов определяют мерность массива, например, два индекса – двумерный массив, три индекса – трехмерный массив, один индекс – одномерный массив или вектор. Обращение к элементу массива выполняется по имени массива и значениям индексов для данного элемента.
Другое определение: массив – вектор, каждый элемент которого – вектор. Синтаксис описания массива представляется в виде:
< Имя >: array [n1..k1] [n2..k2]..[nn..kn]of< Тип >.
Для двумерного массива:
m:array[n1..k1] [n2..k2]of< Тип > или
m: array [n1..k1, n2..k2] of < Тип >
Двумерный массив можно представить в виде таблицы из (k1-n1+1) строк и (k2-n2+1) столбцов. Для двумерного массива, состоящего из (k1-n1+1) строк и (k2-n2+1) столбцов физическая структура представлена в табл. 4.4.
Табл. 4.4. Представление массива m.
|
Смещение |
+0 |
+SizeOf(тип) |
… |
+(k2-n2)*SizeOf(тип) | |
|
Идентификатор |
m[n1,n2] |
m[n1,n2+1] |
… |
m[n1,k2] | |
|
… | |||||
|
m[k1,n2] |
m[k1,n2+1] |
… |
m[n1,k2] | ||
|
+(k1-n1)*(k2-n2+1)* SizeOf(тип) |
+((k1-n1)*(k2-n2)+1)* SizeOf(тип) |
… |
+((k1-n1)*(k2-n2+1)+ (k2-n2))*SizeOf(тип) | ||
Многомерные массивы хранятся в непрерывной области памяти. Размер слота определяется базовым типом элемента массива. Количество элементов массива и размер слота определяют размер памяти для хранения массива. Принцип распределения элементов массива в памяти определен языком программирования. Так в языке FORTRAN элементы распределяются по столбцам (быстрее меняется левые индексы), в PASCAL – по строкам (изменение индексов выполняется в направлении справа налево).
Количество байтов памяти, занятых двумерным массивом, определяется по формуле:
ByteSize = (k1-n1+1)·(k2-n2+1)·SizeOf(Тип) (4.3)
Адресом массива является адрес первого байта начального элемента массива.
Смещение элемента массива m[i1,i2] равно:
ByteNumber = [(i1-n1)·(k2-n2+1)+(i2-n2)]·SizeOf(Тип) (4.4)
а его адрес:
@ByteNumber = @m + ByteNumber
Например:
var m: array[3..5][7..8] of Word;
Базовый тип элемента Word требует два байта памяти, тогда таблица смещений элементов массива относительно @m будет следующей как показано в табл. 4.5. Массив будет занимать в памяти: (5-3+1) · (8-7+1) · 2 = 12 байт
адрес элемента m[4,8] равен:
@m+((4-3) · (8-7+1)+(8-7)) · 2 = @m+6
Табл. 4.5. Представление массива m.
|
Смещение |
Идентификатор |
|
+0 |
m[3,7] |
|
+2 |
m[3,8] |
|
+4 |
m[4,7] |
|
+6 |
m[4,8] |
|
+8 |
m[5,7] |
|
+10 |
m[5,8] |
Таким образом, преимущество использования массивов заключается в быстром вычислении адресов элементов. Независимо от значения элемента, алгоритм вычисления будет одним и тем же. Другими словами, получение доступа к элементу с индексом n принадлежит к классу операций O(1) и не зависит от величины n.
Недостаток массивов связан с ресурсоемкими операциями вставки и удаления элементов. При вставке элемента с индексом i в общем случае следует все элементы с индексами с i по n переместить на одну позицию, чтобы освободить место под новый элемент. Фактически, следует выполнить следующий код:
{ сначала освободить место под новый элемент }
for j:=n downto i do
m[j+1]:=m[j];
{ вставить новый элемент в позицию с индексом i}
m[j]:=a;
{ увеличить значение длины массива на единицу }
Inc(n);
Чем больше количество элементов, тем больше времени потребуется на выполнение операции. Следовательно, операция вставки элемента в массив принадлежит к классу O(i). Та же ситуация и для удаления элемента из массива. Но в этом случае удаление элемента с индексом i означает перемещение всех элементов, начиная с индекса i+1 и до конца массива, на одну позицию к началу массива, чтобы «закрыть» образовавшуюся «дыру». Удаление так же принадлежит к классу O(i).
{ удалить элемент, переместив следующие
за ним элементы на одну позицию вперед }
for j:=i+1 to n do
m[j-1]:=m[j];
{ уменьшить значение длины массива на единицу }
Dec(n);
Открытые массивы. В языке Паскаль доступны для работы массивы открытого типа. Приведем пример объявления открытого массива, элементами которого являются вещественные числа:
var m: array of Real;
В отличие от приведенных выше способов такое объявление не резервирует память под массив, т.к. размеры его заранее не известны. Память будет выделена в процессе выполнения с помощью процедуры SetLength. В следующем примере выделяется память для хранения ста вещественных чисел, индексируемых от 0 до 99:
SetLength(m, 100);
Для массивов открытого типа не следует использовать процедуры управления динамической памятью и символ разыменования «^». Для освобождения памяти, отводимой под открытый массив, переменной следует присвоить значение nil или передать ее в качестве аргумента процедуре Finalize:
Finalize(m);
Процедура линеаризации. Основная операция физического уровня над массивом – доступ к заданному элементу. Как только реализован доступ к элементу, над ним может быть выполнена любая операция, имеющая смысл для типа данных, которому соответствует элемент. Преобразование логической структуры массива в физическую называется процессом линеаризации, в ходе которого многомерная логическая структура преобразуется в одномерную физическую.
В
соответствии с формулами (4.3), (4.4) и по
аналогии с вектором (4.1), (4.2) для двумерного
массива с границами изменения индексов
,
размещенного в памяти по строкам, адрес
элемента с индексами 
может быть вычислен как:
(3.5)
Обобщая
(3.5) для массива произвольной размерности
:
(4.6)
где
зависит от способа размещения массива.
При размещении по строкам:
,
где
и 
при размещении по столбцам:
,
где
и 
.
При
вычислении адреса элемента наиболее
сложным является вычисление третьей
составляющей формулы (4.6), т.к. первые
две не зависят от индексов и могут быть
вычислены заранее. Для ускорения
вычислений множители 
могут быть вычислены заранее и сохраняться
в дескрипторе массива.
Дескриптор массива содержит:
начальный адрес массива
;число измерений в массиве n;
постоянную составляющую формулы линеаризации (первые две составляющие 4.6);
для каждого из n измерений массива: значения граничных индексов
и множитель формулы линеаризации 
.
Специальные массивы. На практике встречаются массивы, которые в силу определенных причин должны записываться в память не полностью, а частично. Это особенно актуально для массивов настолько больших размеров, что для их хранения в полном объеме памяти может быть недостаточно. К таким массивам относятся симметричные и разреженные массивы.
Двумерный массив, в котором количество строк равно количеству столбцов называется квадратной матрицей. Симметричный массив – квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, попарно равны друг другу.
Для симметричной матрицы порядка n в физической структуре достаточно отобразить не n2, а лишь n·(n+1)/2 элементов. В памяти необходимо представить только верхний (включая диагональ) треугольник квадратной логической структуры. Доступ к треугольному массиву организуется таким образом, чтобы можно было обращаться к любому элементу исходной логической структуры, в том числе и к элементам, значения которых хотя и не представлены в памяти, но могут быть определены на основе значений симметричных им элементов.
Для работы с симметричной матрицей должны быть определены процедуры:
преобразования индексов матрицы в индекс вектора;
формирования вектора и записи в него элементов верхнего треугольника элементов исходной матрицы;
получения значения элемента матрицы из ее упакованного представления. Обращение к элементам исходной матрицы выполняется опосредованно, через указанные функции.
Разреженный массив– массив, большинство элементов которого равны между собой, так что хранить в памяти достаточно лишь небольшое число значений отличных от основного (фонового) значения остальных элементов. Различают два типа разреженных массивов:
массивы, в которых местоположения элементов со значениями, отличными от фоновых, могут быть математически описаны;
массивы со случайным расположением элементов.
В случае работы с разреженными массивами вопросы размещения их в памяти реализуются на логическом уровне с учетом их типа. К первому типу массивов относятся массивы, у которых местоположения элементов со значениями отличными от фонового, могут быть математически описаны, т.е. в их расположении есть какая-либо закономерность. Элементы, значения которых являются фоновыми, называют нулевыми; элементы, значения которых отличны от фонового, – ненулевыми. Нужно помнить, что фоновое значение не всегда равно нулю.
Ненулевые значения хранятся, как правило, в одномерном массиве, а связь между местоположением в исходном, разреженном, массиве и в новом, одномерном, описывается математически с помощью формулы, преобразующей индексы массива в индексы вектора.
Для работы с разреженным массивом должны быть определены функции:
преобразования индексов массива в индекс вектора;
получения значения элемента массива из ее упакованного представления по двум индексам (строка, столбец);
записи значения элемента массива в ее упакованное представление по двум индексам.
Ко второму типу массивов относятся массивы, у которых местоположения элементов со значениями, отличными от фоновых, не могут быть математически описаны, т.е. в их расположении нет закономерности.