Содержание

1.Теоретические методы реализации задачи 2

1.1.Постановка задачи, исходные данные 2

1.2.Описание математических функций и методов 2

2.1.Основные понятия, цели и задачи 8

2.2.Описание интерфейса программы 8

Диалоговое окно программы разделено на 3 части: 8

2.3.Описание результатов решения 10

2.4.Тестирование 11

3.Список использованной в работе литературы и интернет ресурсов 12

Приложение 13

1. Теоретические методы реализации задачи

   1. Постановка задачи, исходные данные

Целью данной работы является вычисления выражения:

где:

Исходные данные:

σ_y=15; σ_z=5;R₀=20м;R_max=1, 15, 45

Для вычисления интеграла данного выражения был применён метод Симпсона. Подынтегральной функцией является функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка. Так как коэффициент kэтой функции может принимать нецелые значения, для подсчёта факториала этого коэффициента (k!) применима Гамма-функция. Ниже представлено теоретическое описание функций и методов, используемых в данной работе.

2. Описание математических функций и методов

Гамма-функция

Гамма-функция, Г-функция, Г-функция Эйлера, эйлеров интеграл 2-го рода, — одна из важнейших трансцендентных функций математического анализа, распространяющая понятие факториала на случай комплексных значенийz. Г.-ф. впервые введена Леонардом Эйлером (1729); она определяется формулой

Если действительная часть числа z положительна, то можно также пользоваться формулой

(Эйлеров интеграл 2-го рода).

Если n натуральное число, то Γ(n) = (n − 1)! Интеграл

наз. неполной гамма-функцией. Основные соотношения для Г.-ф.:

Γ(z + 1) = zΓ(z) (функциональное уравнение);

(формула дополнения), отсюда

где при(формула Стирлинга).

В действительной области Γ(x) > 0 для x > 0 и принимает знак ( − 1)^{k + 1} на участках

Для всех действительных x справедливо неравенство

т. е. все ветви как | Γ(x) | , так и ln | Γ(x) | — выпуклые функции. Свойство логарифмической выпуклости определяет Г.-ф. среди всех решений функционального уравнения Γ(1 + x) = xΓ(x) с точностью до постоянного множителя. Для положительных x Г.-ф. имеет единственный минимум при , равный

Локальные минимумы функции | Γ(x) | при образуют последовательность, стремящуюся к нулю. Г.-ф. представляет собой мероморфную функцию с простыми полюсами в точкахФункция 1 / Γ(z) является целой функцией 1-го порядка максимального типа:

где C — постоянная Эйлера. Эта формула послужила отправным пунктом для создания теории разложения целых функций в бесконечные произведения. При этом асимптотически где

Через Г.-ф. выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Она играет важную роль в теории специальных функций — цилиндрических, гипергеометрических и др. Г.-ф. и её свойства используются также в аналитической теории чисел.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Для вычисления гамма-функции используется аппроксимация её логарифма. Для аппроксимации гамма-функции на интервале x>0 используется следующая формула (для комплексных z):

Г(z+1)=(z+g+0.5)z+0.5exp((z+g+0.5))[a0+a1/(z+1)+a2/(z+2)+...+an/(z+n)+eps]

Эта формула похожа на аппроксимацию Стирлинга, но в ней имеется корректирующая серия. Для значений g=5 и n=6, проверено, что величина погрешности не превышает 2*10^-10. Более того, погрешность не превышает этой величины на всей правой половине комплексной плоскости: z > 0.

Для получения (действительной) гамма-функции на интервале x>0 используется рекуррентная формула Г(z+1)=zГ(z) и вышеприведенная аппроксимация Г(z+1). Кроме того, можно заметить, что удобнее аппроксимировать логарифм гамма-функции, чем ее саму. Во-первых, при этом потребуется вызов только одной математической функции - логарифма, а не двух - экспоненты и степени (последняя все равно использует вызов логарифма), во-вторых, гамма-функция - быстро растущая для больших x, и аппроксимация ее логарифмом снимает вопросы переполнения.

Для аппроксимации Ln(Г(х) - логарифма гамма-функции - получается формула:

log(Г(x))=(x+0.5)log(x+5.5)-(x+5.5)+ log(C0(C1+C2/(x+1)+C3/(x+2)+...+C7/(x+8))/x)

Значения коэффициентов Ck - табличные данные.

Сама гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

Функции Бесселя

Функции Бесселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

где α — произвольное вещественное число, называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков. Хотя α и -α порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по α).

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Одно из них – функция Бесселя 1-го рода, нулевого порядка или ,как её ещё называют, цилиндрическая функция нулевого индекса.

Цилиндрическая функция нулевого индекса имеет вид:

.

Метод Симпсона

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других областей человеческой деятельности приводят к необходимости вычислять определённый интеграл.

Суть приёма заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени, то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности и алгебраический порядок точности. Метод Симпсона относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761)

Разобьем отрезок интегрирования [a,b] на четное число n равных частей с шагом h. На каждом отрезке подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным многочленом второй степени:

Коэффициенты этих квадратных трехчленов могут быть найдены из условий равенства многочлена в точках xi соответствующим табличным данным yi. В качестве j i(x) можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки Mi-1(xi-1,yi-1), Mi(xi,yi), Mi+1(xi+1, yi+1):

Элементарная площадь si может быть вычислена с помощью определенного интеграла.

Учитывая равенства xi+1 - xi = xi - xi-1 = h, получаем

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка [xi-1, xi+1], просуммируем полученные выражения:

Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:

Полученное соотношение называется формулой Симпсона.

С

равнив методы прямоугольников и трапеций с методом Симпсона, отметим, что последний обладает более высокой точностью. Главный член погрешности метода Симпсона имеет вид: