Уравнения Максвелла
Это фундаментальные уравнения классической электродинамики, описывающие электромагнитные явления в любой среде. Уравнения Максвелла связывают величины, характеризующие электромагнитное поле, с его источниками, т.е., с распределением в пространстве электрических зарядов и токов.
Электромагнитное поле характеризуется напряженностью электрического поля Е и индукцией магнитного поля В. Эти величины определяют силы, действующие со стороны поля на заряды и токи, распределение которых в пространстве задается плотностью заряда ρ и плотностью тока j. Кроме векторов Е и В вводятся вспомогательные векторные величины, не зависящие от свойств среды: электрическая индукция D и напряженность магнитного поля Н.
Уравнения Максвелла позволяют определить основные характеристики поля (Е, В, D и Н) в каждой точке пространства в любой момент времени, если известны источники поля j и ρ как функции координат и времени.
Уравнения Максвелла могут быть записаны в интегральной и дифференциальной форме.
Уравнения Максвелла в интегральной форме
Уравнения Максвелла в интегральной форме определяют не вектора Е, В, D и Н в отдельных точках пространства, а некоторые интегральные величины, зависящие от распределения этих характеристик поля: циркуляцию векторов Е и Н вдоль произвольных замкнутых контуров и потоки векторов D и В через произвольные замкнутые поверхности.
1 уравнение – обобщение на переменные поля закона Био-Савара-Лапласа
+
- циркуляция вектора напряженности
магнитного поля вдоль замкнутого контура
определяется полным током через
произвольную поверхность, ограниченную
данным контуром.
2
уравнение
– математическая запись закона
электромагнитной индукции
- циркуляция вектора напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура (ЭДС индукции) определяется скоростью изменения потока вектора индукции магнитного поля через поверхность, ограниченную данным контуром.
3 уравнение – отражает факт отсутствия магнитных зарядов
- поток магнитной
индукции через замкнутую поверхность
равен 0.
4 уравнение – теорема Гаусса
или
=
-
поток вектора электрической индукции
через замкнутую поверхность равен
суммарному заряду, находящемуся внутри
этой поверхности.
Кроме того, величины, входящие в эти уравнения, связаны между собой соотношениями В = μμ0Н, D = εε0Е, j = σЕ, где μ, ε, σ – величины, характеризующие свойства среды.
Уравнения Максвелла в дифференциальной форме
Уравнения Максвелла в интегральной форме применимы к поверхности любой величины, поэтому входящие в них величины относятся к разным точкам поля. Если уравнения Максвелла применить к бесконечно малым площадкам и объемам, то входящие в них величины будут относиться к одной и той же точке поля.
Предел отношения циркуляции вектора А вдоль некоторого контура к площади площадки, ограниченной этим контуром при ΔS → 0, это проекция нового вектора, называемого вихрем вектора А, на направление нормали к площадке
1)
,
2)
3)
4)
Эти уравнения
можно записать через составляющие в
прямоугольной системе координат:
,
.
1) 
,
2)
,
,
3)
4)
Если среда является диэлектриком, то jх = 0, jу = 0, jz = 0.
Теория Максвелла явилась завершением важного этапа в развитии учения об электричестве и привела к классическому представлению об электромагнитном поле, содержащем, в общем случае, и электрическое и магнитное поля, связанные между собой и способные взаимно превращаться друг в друга.
Уравнения Максвелла содержат в себе все основные законы электрического и магнитного полей, включая электромагнитную индукцию, и поэтому являются общими уравнениями электромагнитного поля в покоящихся средах.
Теория Максвелла не только объяснила уже известные факты, но и предсказала новые важные явления. На основе предположения о магнитном поле токов смещения Максвелл предсказал существование электромагнитных волн, т.е., переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. Теоретическое исследование свойств электромагнитных волн привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет представляет собой электромагнитные волны.