Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа.

Правила Кирхгофа устанавливают соотношения для токов и напряжений в разветвленных электрических цепях постоянного тока.

Первое правило: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна 0, . Узлом называется точка, в которой сходится более двух проводников. Ток, текущий к узлу считается положительным, текущий от узла – отрицательным.

I₁ + I₂ – I₃ = 0.

Второе правило: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках контура равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре, . При этом необходимо задаться направлением обхода контура, обычно по часовой стрелке. Ток считается положительным, если его направление совпадает с направлением обхода, а ЭДС считается положительной, если она повышает потенциал в направлении обхода (от – к +).

Если цепь содержит N узлов, то по первому правилу составляется N – 1 уравнений. По второму правилу можно составить уравнения для всех замкнутых контуров, которые можно мысленно выделить в данной цепи. Но независимыми будут только уравнения для тех контуров, которые нельзя получить наложением других контуров друг на друга.

Число независимых уравнений, составленных по правилам Кирхгофа, равно числу различных токов, протекающих в цепи. Рассмотрим пример расчета.

R₁ = R₂ = R₃ = R₄ = 2 Ом, ε₁ = ε₂ = ε₃ = 10 В.

I₁ – I₂ – I₃ = 0

I₁R₁ + I₂R₂ + I₁R₄ = ε₂ - ε₁

I₃R₃ – I₂R₂ = -ε₃ - ε₂

I₁ – I₂ – I₃ = 0

I₁2 + I₂2 + I₁2 = 10 – 10 = 0, I₂ = - 2I₁

I₃2 – I₂2 = -10 – 10 = -20, I₃ = I₂ – 10 = - 2I₁ - 10

I₁- (- 2I₁) – (- 2I₁ – 10) = 0, 5I₁ = - 10, I₁ = - 2 (A), I₂ = 4 (A), I₃ = - 6 (A). Знак – у полученных значений токов означает, что действительное направление токов противоположно выбранному.

Лекция 8

Механизмы проводимости электрического тока

Для выяснения природы носителей тока в металлах был проведен ряд опытов. Если бы электрический ток был обусловлен движением ионов, то происходил бы перенос вещества, но этого не было обнаружено. Доказательство природы тока в металлах было получено в опытах с инерцией носителей заряда. Если резко затормозить движущийся кусок металла, то находящиеся в нем свободные носители заряда, двигаясь по инерции, будут скапливаться у переднего конца проводника и между концами проводника возникнет разность потенциалов. Так можно определить знак этих носителей и удельный заряд.

Первый такой опыт был поставлен в 1913 году Мандельштамом и Папалекси, а затем в 1916 году Толменом и Стюартом. Эти опыты показали, что носителями тока в металлах являются свободные электроны.

Закон Ома с точки зрения электронной теории металлов

Вследствие сильного взаимодействия между атомами металла при соединении их в кристаллическое твердое тело, внешние валентные электроны перестают быть связанными с отдельными атомами и легко переходят от одного атома к другому. В узлах кристаллической решетки располагаются положительные ионы, а между ними хаотически движутся свободные электроны. Взаимодействие электронов и ионов можно рассматривать как ряд последовательных столкновений.

Если создать внутри металла электрическое поле, то электроны приобретут дополнительную скорость вдоль электрического поля (точнее - против). Суммарная скорость зарядов будет складываться из хаотической u и направленной или дрейфовой v cкоростей: c = u + v (u » v, 100 км/с и ≈ 1 мм/с). Средняя скорость носителей заряда будет , так как средняя скорость хаотического движения равна 0.

Мысленно выделим в проводнике с сечением S отрезок длиной v_срdt. За время dt через сечение 2 проводника пройдут все носители заряда из выделенного объема. Следовательно, через сечение 2 пройдет заряд dq = q₀N = q₀ndV = q₀nS v_срdt, здесь q₀ – заряд одного носителя (в данном случае электрона), N – число свободных носителей заряда в данном объеме dV, n – концентрация носителей заряда. Следовательно, сила тока в проводнике будет , а плотность тока.

Дрейфовую скорость носителей заряда можно регулировать с помощью электрического поля. На заряд в электрическом поле действует сила F = q₀ E. Под действием этой силы заряд приобретает ускорение и его скорость будетс течением времени возрастать. Но необходимо помнить, что носители заряда в проводнике постоянно испытывают соударения и при соударениях полностью теряют свою скорость. Можно графически представить зависимость скорости от времени.

На каждом отрезке свободного пробега носители движутся ускоренно, но в среднем, за много отрезков перемещаются со средней скоростью

, τ – время свободного пробега.

- закон Ома в дифференциальной форме.