Зоны Френеля

Как следует из принципа Гюйгенса- Френеля амплитуда волны в точке наблюдения (рис. 8.3), создаваемая источником монохроматической электромагнитной волны в точке, может быть найдена как суперпозиция амплитуд сферических волн, испускаемых вторичными источниками на произвольной замкнутой поверхности, охватывающей точкув соответствии с выражением(8.2).

Вычисления по формуле (8.2) представляют собой в общем случае очень трудную задачу. Однако, как показал Френель, в случаях, отличающихся симметрией, нахождение амплитуды результирующего колебания может быть осуществлено простым алгебраическим или геометрическим суммированием.

Чтобы понять суть метода, разработанного Френелем,амплитуду светового колебания, возбуждаемого в точке Р сферической волной, распространяющейся в изотропной, однородной среде из точечного источника S (рис. 8.6). Волновые поверхности такой световой волны симметричны относительно прямой линии SP. Воспользовавшись этим, разобьем изображенную на рисунке волновую поверхность на кольцевые зоны, построенные так, что расстояния от краев каждой, зоны до точки Р отличаются на /2. Обладающие таким свойством зоны носят название зон Френеля.

Рис.8.6

Из рис. 8.6 видно, что расстояние b_m от внешнего края m-й равно

(8.3)

(b — расстояние от вершины волновой поверхности О до точки Р).Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон (т. е. от точек, лежащих в середине зон, или у внешних краев зон и т. д.), находятся в противофазе. Поэтому и результирующие колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на .

Вычислим радиус зон Френеля. Так, граница - ой зоны Френеля () отстоит от прямой(рис. 8.6) на расстоянии, называемом радиусом- ой зоны Френеля. Найдём радиус- ой зоны Френеля. Как следует из геометрических соображений (рис. 8.7):

(8.4)

где - расстояние вдоль прямойот источника до центра волнового фронта ;- расстояние вдоль прямойот центра волнового фронта до точки наблюдения.

Из 8.4, пренебрегая , для не очень большихнайдём:

(8.5)

С помощью этого соотношения из (8.4) найдём

(8.6)

Рис8.7

В частном случае бесконечно удалённого источника от точки наблюдения () волновой фронтявляется плоскостью и радиусm-ой зоны Френеля определяется формулой

(8.7)

Принимая во внимание (рис. 8.5), находим площадь сферического сегмента радиусаи высоты

(8.8)

и получаем, что площадь - ой зоны Френеля:

(8.9)

не зависит от .Это значит, что в каждой зоне Френеля находится одинаковое число вторичных источников, а, следовательно, суммарную амплитуду вторичных источников можно заменить амплитудой зоны Френеля.

Итак, площади зон Френеля примерно одинаковы. Расстояние b_m от зоны до точки Р медленно растет с номером зоны m Угол  между нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р также растет с m. Все это приводит к тому, что амплитуда E_m колебания, возбуждаемого m-й зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом m. Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательность:

E₁>E₂>E₃> E_m >E_m+n

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на .

Действительно, пусть - амплитуды, создаваемые первой, второй и т.д. зонами Френеля. Тогда искомая амплитуда в точке, создаваемая всеми зонами Френеля в точке наблюдения, равна

(8.10)

Как было отмечено выше, можно считать, что вклады от соседних зон примерно равны и их величины монотонно уменьшаются. По этой причине можно считать выражения в скобках в (8/10) равными нулю, т. е. имеет место равенство для любого m .>1

.

Тогда из выражения (8.10) получим:

(8.11)

Итак, амплитуда результирующего колебания, получающегося вследствие взаимной интерференции света, идущего в точку Р от различных участков сферической волны, меньше амплитуды первой зоны Френеля. Так, как в однородной изотропной среде интенсивность распространяющегося света определяется только амплитудой первой зоны Френеля, то можно оценить радиус того цилиндрического канала, по которому распространяется свет: пусть а=b=1м, =0,5мкм, тогда r₁=0,5мм. Следовательно, распространение света от точки S к точке P происходит в узком канале, т.е. прямолинейно, что соответствует законам геометрической оптики. Таким, образом, теория зон Френеля не противоречит законам геометрической оптики.

Учитывая, что интенсивность волны пропорциональна квадрату модуля электромагнитных векторов, можно заключить, что интенсивность поля , создаваемого первой зоной Френеля, в четыре раза больше интенсивности волны источникав точке наблюдения, создаваемой всеми вторичными источниками на поверхности: