Условие добавочных минимумов

Чтобы N волн погасили друг друга, разность фаз между волнами, идущими от соответствующих точек разных щелей должна измениться на 2π/N, а не на π. На рис.10.7б изображена векторная диаграмма колебаний, возбуждаемых волнами от всех N щелей, при условии, что сдвиг фаз волн от соседних щелей равен =2π/N, а соответствующая разность хода равна λ/N. Вектора, изображающие амплитуды N колебаний, образуют в этом случае замкнутый многоугольник, т.е. результирующая амплитуда светового вектора равна нулю. Так как многоугольник замкнутый , то сумма внешних углов равна 2m^, тогда . Разность хода и разность фаз связаны условием, разность хода между соответствующими лучами соседних щелей равна, поэтому, отсюда получаем, что

(10.12)

Это условие носит название условия добавочных минимумов. В условии (10.12) m- порядок добавочного минимума. mпринимает значения 1,2, N-1,N+1, N+2, 2N-1,2N+1 и так далее. m не может принимать значения кратные числу щелей N, так как в этом случае условие добавочных минимумов переходит в условие главных максимумов. Значение чисел m находятся между значениями m, определяющими порядок главных максимумов, поэтому добавочные минимумы находятся между главными максимумами , тогда полное условие добавочных минимумов выглядит следующим образом:

(10.13)

Между двумя соседними главными максимумами находится N-1 добавочный минимум. Между добавочными минимумами располагаются добавочные максимумы, условие для которых выводится достаточно сложно. Расчет показывает, что интенсивность этих максимумов не превышает 1/23 интенсивности ближайшего главного максимума.

Угловая ширина главных максимумов

Определим угловую ширину центрального максимума. С обеих сторон он ограничен добавочными минимумами. Таким образом, при переходе из главного максимума в соседний минимум разность хода Δ=dsinθ должна измениться на λ/N. Из этого условия можно оценить угловую полуширину δθ главных максимумов: Отсюда полуширина центрального максимума определиться углом дифракции, при котором наблюдается добавочный минимум

Ширина центрального максимума

(10.14)

Заметим, что Nd- длина дифракционной решетки, т.е. угловая ширина центрального дифракционного максимума определяется длиной дифракционной решетки.

Рисунок 10.7. Сложение колебаний в максимуме и минимуме интерференционной картины: a – интерференция двух волн, b – интерференция N волн (N = 8).

Можно сделать важный вывод: главные максимумы при дифракции света на решетке чрезвычайно узки. Рис.  10.8 дает представление о том, как меняется острота главных максимумов при увеличении числа щелей решетки.

Рисунок 10.8. Распределение интенсивности при дифракции монохроматического света на решетках с различным числом щелей. I0 – интенсивность колебаний при дифракции света на одной щели.

Как следует из формул, описывающих спектр дифракционной решетки, положение главных максимумов (кроме нулевого) зависит от длины волны λ. Поэтому решетка способна разлагать излучение в спектр, то есть она является спектральным прибором. Если на решетку падает немонохроматическое излучение, то в каждом порядке дифракции (т. е. при каждом значении m) возникает спектр исследуемого излучения, причем фиолетовая часть спектра располагается ближе к максимуму нулевого порядка. На рис.10.9 изображены спектры различных порядков для белого света. Максимум нулевого порядка остается неокрашенным.

Рисунок.10.9. Разложение белого света в спектр с помощью дифракционной решетки.