Практическое занятие 6. Прямая на плоскости

В задачах 6.1 – 6.3 требуется:

1. написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую;

2. привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой.

6.1. Прямая задана точкойи нормальным векторам

1) ;

2) ;

3) .

Ответ:

1) . Общее уравнение:. Нормальное уравнение:;.

2) . Общее уравнение:, прямая параллельна оси. Нормальное уравнение:.

3) . Общее уравнение:. Нормальное уравнение:;.

6.2. Прямая задана точкойи направляющим вектором

1) ;

2) ;

3) .

Ответ:

1) . Общее уравнение:. Нормальное уравнение:;.

2) . Общее уравнение:, прямая параллельна оси. Нормальное уравнение:.

3) . Общее уравнение:, прямая параллельна оси. Нормальное уравнение:;.

6.3. Прямая задана двумя своими точкамии:

1) ;

2) ;

3) .

Ответ:

1) . Общее уравнение:. Нормальное уравнение:;.

2) . Общее уравнение:, прямая параллельна оси. Нормальное уравнение:.

3) . Общее уравнение:, прямая параллельна оси. Нормальное уравнение:;.

6.4. Заданы прямая и точка. Требуется:

1) вычислить расстояние от точкидо прямой;

2) написать уравнение прямой , проходящей через точкуперпендикулярно заданной прямой;

3) написать уравнение прямой , проходящей через точкупараллельно заданной прямой.

Исходные данные:

1) ;

2) ;

3) .

Пусть заданы две прямые и. Возможны два случая их взаимного расположения:

1. и – параллельные прямые, в частности они совпадают;

2. и пересекаются.

В задачах 6.5 – 6.9 исследовать взаимное расположение заданных прямых и. При этом в случае 1) найти расстояниемежду прямыми, а в случае 2) косинус углаи точкупересечения прямых.

Ответ:

1) ,.

2) ,.

3) ,.

6.5. .

Ответ: Пересекаются в точке .

6.6. .

Ответ: Пересекаются в точке .

6.7. .

Ответ: Параллельны;.

6.8. .

Ответ: Параллельны; .

6.9. .

Ответ: Совпадают.

6.10. Треугольник задан координатами своих вершин. Требуется:

1) написать уравнение стороны ;

2) написать уравнение высоты и вычислить ее длину;

3) найти угол между высотойи медианой;

4) написать уравнение биссектрис ивнутреннего и внешнего углов при вершине.

Исходные данные:

а) ;

б) .

Ответ:

а) ,

;

б) ,

;

6.11. Показать, что точка принадлежит прямой. Найти соответствующее этой точке значение параметра.

Ответ: .

6.12. Вычислить расстояние от точки до прямой.

Ответ: .

6.13. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и отстоящей от точкина расстояние.

Ответ: .

6.14. Написать уравнение прямой, проходящей через точку и удаленной от точкивдвое дольше, чем точка.

Ответ: .

6.15. Написать уравнение прямой, проходящей на расстоянии от точкиперпендикулярно прямой.

Ответ: .

6.16. Доказать, что если прямые изаданы уравнениями с угловым коэффициентом, то.

6.17. Из точки выходит луч света под угломк осии отражается от нее. Написать уравнения падающего и отраженного лучей.

Ответ: .

6.18. Найти уравнение прямой, отсекающей на оси абсцисс от начала координат отрезок длины 2 и образующей с прямой угол.

Ответ: .

6.19. В уравнении прямой подобратьтак, чтобы угол между этой прямой и прямойравнялся.

Ответ: .

6.20. В равнобедренном треугольнике заданы вершина, уравнениеоснованияи уравнениебоковой стороны. Написать уравнение стороны.

Ответ: .

6.21. Написать уравнение прямой, которая отстоит от точки на расстояниеи составляет с осьюугол, вдвое больший угла, составляемого с осьюпрямой.

Ответ:

.

6.22. Составить уравнение прямой, которая проходит через точку и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

Ответ: .

6.23. Написать уравнение прямой, параллельной двум заданным прямым ии проходящей посередине между ними, если:

а) ;

б) .

Ответ: 1) ; 2).

6.24. Написать уравнение прямой, проходящей через точку под угломк прямой.

Ответ: .

6.25. Даны две противоположные вершины квадрата и. Найти координаты двух его других вершин и написать уравнения его сторон.

Ответ:

, .

6.26. Известны уравнение одной из его сторон квадрата и точка пересечения диагоналей. Написать уравнения остальных его сторон.

Ответ: .

6.27. Точка является вершиной квадрата, диагональ которого на прямой. написать уравнения сторон и второй диагонали этого квадрата.

Ответ:

, ,.

6.28. Написать уравнения сторон треугольника , если задана его вершинаи уравнения двух медиани.

Ответ: .

6.29. Составить уравнение биссектрисы того угла между прямыми и, внутри которого лежит точка.

Ответ: .

6.30. Составить уравнения сторон параллелограмма , зная, что его диагонали пересекаются в точке, а стороны,,ипроходят соответственно через точки,,,.

Ответ: ,

.

6.31. Дано уравнение стороны ромба и уравнение его диагонали. Записать уравнения остальных сторон ромба, зная, что точкалежит на стороне, параллельной данной.

Ответ: .

6.32. Зная уравнения двух сторон треугольника ,и внутренний угол при вершине, равный, записать уравнение высоты, опущенной из вершинына стороны.

Ответ: .

6.33. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения биссектрис двух его углов:и.

Ответ: .

6.34. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух медиан:и.

Ответ: .

6.35. В треугольнике с вершинами ,,стороныиразделены в отношении, считая от общей вершины. Доказать, что прямые, соединяющие точки деления с противоположными вершинами, и медиана пересекаются в одной точке.

6.36. Прямые икасаются окружности, радиус которой. Вычислить площадь четырехугольника, образованного этими касательными и радиусами круга, проведенными в точки касания.

Ответ: .

6.37. Даны две точки и. На осинайти такую точку, чтобы ломанная линияимела наименьшую длину.

Ответ: .