
Практические занятия матем / Практическое занятие 16
.docПрактическое занятие 16
Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей
Задания:
Раскрыть
неопределенности типа
или
:
16.1..
.
Ответ: 0.
16.2.
.
Ответ:
16.3..
Ответ:
16.4.
Ответ:
16.5.
.
Ответ: 1.
16.6.
Ответ: 2/3.
16.7.
Ответ:
16.8.
Ответ:
16.9.
Ответ:
16.10.
Ответ:
16.11.
Ответ:
16.12.
Ответ:
16.13.
Ответ:
16.14.
Ответ:
16.15.
Ответ:
16.16.
>0.
Ответ:
.
16.17.
Ответ:
16.18.
Ответ:
16.19.
Ответ:
16.20.
Ответ:
Раскрыть
неопределенности типа
или
:
16.21.
Ответ:
16.22.
Ответ:
16.23.
Ответ:
.
16.24.
Ответ:
16.25.
Ответ:
16.26.
Ответ:
16.27.
x
Ответ:
16.28.
Ответ:
16.29.
Ответ:
16.30.
Ответ:
16.31.
Ответ:
16.32.
Ответ:
Раскрыть
неопределенности типа
16.33.
Ответ:
16.34.
Ответ:
16.35.
Ответ:
16.36.
Ответ:
16.37.
Ответ:
16.38.
Ответ:
16.39.
Ответ:
16.40.
Ответ:
16.41.
Ответ:
16.42.
Ответ:
16.43.
Ответ:
16.44.
Ответ:
16.45.
Ответ:
16.46.
Ответ:
16.47.
Ответ:
Дополнительные сведения.
Правило Лопиталя
(для раскрытия неопределенностей вида
или
).
Если
функции
и
удовлетворяют условиям теоремы Коши в
некоторой окрестности точки
стремятся
к нулю (или
)
при
и существует
то
существует также
и эти пределы равны, т.е.
Правило Лопиталя
справедливо и при
Если частное
вновь дает в предельной точке
неопределенность одного из двух названных
видов и функции
удовлетворяют всем требованиям, ранее
указанным для функций
и
,
то можно перейти к отношению вторых
производных и т.д. Однако следует помнить,
что предел отношения самих функций
может существовать, в то время как
отношение производных не стремится ни
к какому пределу.
Пример 1.
Найти
Решение: Имеем:
Но предел вида
не существует, так
как при
числитель и знаменатель дроби могут
принимать любые значения из отрезка
,
а само отношение производных принимает
любые неотрицательные значения.
Следовательно, правило Лопиталя в этом
случае неприменимо.
Пример 2.
Найти
Решение: Числитель и знаменатель данной дроби непрерывны, дифференцируемы и стремятся к нулю. Это означает, что можно применить правило Лопиталя:
Неопределенность
вида
получается из произведения функций
в котором
и
.
Это произведение легко преобразуется
в частное вида
или
что дает неопределенности вида
или
Если же
и
то разность
дает неопределенность вида
Но
Тогда, если
приходим к неопределенности вида
Пример
3. Вычислить
(неопределенность вида
)
Решение: Легко находим, что
Рассмотрим
функцию вида
1. Если
то имеем неопределенность вида
2.Если
приходим к неопределенности вида
3. Если
получаем неопределенность вида
Для раскрытия
этих неопределенностей применяется
метод логарифмирования, который состоит
в следующем. Пусть
Так как логарифмическая функция непрерывна, то
Тогда
И неопределенности
трех рассматриваемых видов сводятся к
неопределенности вида
Пример
4. Вычислить
Решение:
Обозначим
искомый предел через
Тогда
Домашние задания к практическому занятию № 16.
Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя
1.
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
; 16)
;
17)
; 18)
;
19)
; 20)
;
21)
; 22)
;
23)
; 24)
;
25)
; 26)
;
27)
; 28)
;
29)
; 30)
.
2.
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
; 16)
;
17)
; 18)
;
19)
; 20)
;
21)
; 22)
;
23)
; 24)
;
25)
; 26)
;
27)
; 28)
;
29)
; 30)
.
3.
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
; 16)
;
17)
; 18)
;
19)
; 20)
;
21)
; 22)
;
23)
; 24)
;
25)
26)
27)
28)
29)
30) .
4.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
5.