Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Практические занятия матем / Практическое занятие 16

.doc
Скачиваний:
38
Добавлен:
18.03.2015
Размер:
760.83 Кб
Скачать

Практическое занятие 16

Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей

Задания:

Раскрыть неопределенности типа или :

16.1...

Ответ: 0.

16.2. .

Ответ:

16.3..

Ответ:

16.4.

Ответ:

16.5. .

Ответ: 1.

16.6.

Ответ: 2/3.

16.7.

Ответ:

16.8.

Ответ:

16.9.

Ответ:

16.10.

Ответ:

16.11.

Ответ:

16.12.

Ответ:

16.13.

Ответ:

16.14.

Ответ:

16.15.

Ответ:

16.16. >0.

Ответ: .

16.17.

Ответ:

16.18.

Ответ:

16.19.

Ответ:

16.20.

Ответ:

Раскрыть неопределенности типа или :

16.21.

Ответ:

16.22.

Ответ:

16.23.

Ответ: .

16.24.

Ответ:

16.25.

Ответ:

16.26.

Ответ:

16.27. x

Ответ:

16.28.

Ответ:

16.29.

Ответ:

16.30.

Ответ:

16.31.

Ответ:

16.32.

Ответ:

Раскрыть неопределенности типа

16.33.

Ответ:

16.34.

Ответ:

16.35.

Ответ:

16.36.

Ответ:

16.37.

Ответ:

16.38.

Ответ:

16.39.

Ответ:

16.40.

Ответ:

16.41.

Ответ:

16.42.

Ответ:

16.43.

Ответ:

16.44.

Ответ:

16.45.

Ответ:

16.46.

Ответ:

16.47.

Ответ:

Дополнительные сведения.

Правило Лопиталя (для раскрытия неопределенностей вида или ). Если функции и удовлетворяют условиям теоремы Коши в некоторой окрестности точки стремятся к нулю (или ) при и существует то существует также и эти пределы равны, т.е.

Правило Лопиталя справедливо и при

Если частное вновь дает в предельной точке неопределенность одного из двух названных видов и функции удовлетворяют всем требованиям, ранее указанным для функций и , то можно перейти к отношению вторых производных и т.д. Однако следует помнить, что предел отношения самих функций может существовать, в то время как отношение производных не стремится ни к какому пределу.

Пример 1. Найти

Решение: Имеем:

Но предел вида

не существует, так как при числитель и знаменатель дроби могут принимать любые значения из отрезка , а само отношение производных принимает любые неотрицательные значения. Следовательно, правило Лопиталя в этом случае неприменимо.

Пример 2. Найти

Решение: Числитель и знаменатель данной дроби непрерывны, дифференцируемы и стремятся к нулю. Это означает, что можно применить правило Лопиталя:

Неопределенность вида получается из произведения функций в котором и . Это произведение легко преобразуется в частное вида или что дает неопределенности вида или Если жеи то разность дает неопределенность вида Но

Тогда, если приходим к неопределенности вида

Пример 3. Вычислить (неопределенность вида )

Решение: Легко находим, что

Рассмотрим функцию вида

1. Если то имеем неопределенность вида

2.Если приходим к неопределенности вида

3. Если получаем неопределенность вида

Для раскрытия этих неопределенностей применяется метод логарифмирования, который состоит в следующем. Пусть

Так как логарифмическая функция непрерывна, то

Тогда

И неопределенности трех рассматриваемых видов сводятся к неопределенности вида

Пример 4. Вычислить

Решение: Обозначим искомый предел через Тогда

Домашние задания к практическому занятию № 16.

Найти указанные пределы, используя правило Лопиталя

1.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) .

2.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) .

3.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) 26)

27) 28)

29) 30) .

4.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

21) 22)

23) 24)

25) 26)

27) 28)

29) 30)

5.