Домашние задания к практическому занятию №7.

1. Даны четыре точки . Составить уравнения:

а) плоскости ;

б) прямой ;

в) прямой , перпендикулярной к плоскости;

г) прямой , параллельной прямой;

д) плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой.

Вычислить:

е) синус угла между прямой и плоскостью;

ж) косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) ;

20) ;

21) ;

22) ;

23) ;

24) ;

25) ;

26) ;

27) ;

28) ;

29) ;

30) .

2. Решить следующие задачи.

1) Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости.

2) Составить уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка перпендикулярно этому отрезку, если,.

3) Найти расстояние от точки до плоскости.

4) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости.

5) Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку.

6) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,параллельно оси.

7) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую.

8) Составить уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и.

9) Составить общее уравнение прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через осьи точку.

10) Составить уравнение плоскости в «отрезках», если она проходит через точку и отсекает на осиотрезок, а на оси– отрезок.

11) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторами.

12) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,перпендикулярно к плоскости.

13) Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к двум плоскостям и.

14) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,параллельно вектору.

15) Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно вектору , если,.

16) Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью, проходящей через точку параллельно плоскости.

17) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно отрезку, если,.

18) Показать, что прямая параллельна плоскости, а прямая,,лежат в этой плоскости.

19) Составить общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно координатной плоскости.

20) Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку.

21) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ипараллельно оси.

22) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую,,.

23) Найти проекцию точки на плоскость.

24) Определить, при каком значении плоскостиибудут перпендикулярны.

25) Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку и отсекает на осях координат отличные от нуля отрезки одинаковой величины.

26) При каких значениях ипрямаяперпендикулярна к плоскости?

27) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ,перпендикулярно плоскости.

28) Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат перпендикулярно к плоскостям и.

29) Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ипараллельно вектору.

30) Определить, при каком значении плоскостиибудут перпендикулярны.

3. Решить следующие задачи.

1) Доказать параллельность прямых и,

2) Доказать, что прямая параллельна плоскости, а прямаялежит в этой плоскости.

3) Составить уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осями координат углы, соответственнои.

4) Доказать, что прямая перпендикулярна к прямой

5) Составить параметрические уравнения медианы треугольника с вершинами ,,, проведенной из вершины.

6) При каком значении прямаяпараллельна прямой

7) Найти точку пересечения прямой и плоскости.

8) Найти проекцию точки на плоскость.

9) При каком значении плоскостииперпендикулярны?

10) При каком значении плоскостьпараллельна прямой?

11) При каких значениях ипрямаяперпендикулярна плоскости?

12) Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат параллельно прямой ,,.

13) Проверить, лежат ли на одной прямой точки и.

14) Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой,.

15) Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямыми.

16) При каких значениях иплоскостьперпендикулярна к прямой?

17) Показать, что прямая параллельна плоскости, а прямая,,лежит в этой плоскости.

18) Составить уравнение плоскости, проходящей через ось и точку.

19) Показать, что прямые и,перпендикулярны.

20) При каком значении прямая,пересекает ось?

21) При каком значении прямыеипараллельны?

22) Найти точку пересечения прямой и плоскости.

23) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости.

24) Составить общие уравнения прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью, проходящей через осьи точку.

25) При каких значениях ипрямаялежит в плоскости?

26) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум векторами.

27) Составить уравнения прямой, проходящей через точку параллельно оси.

28) Составить уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямой.

29) Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно к прямыми.

30) Найти точку, симметричную точке относительно прямой.

Решение типового варианта

1. Даны четыре точки (4,7,8),(-1,13,0),,.

Составить уравнения:

а) плоскости

б) прямой

в) прямой перпендикулярной к плоскости

г) прямой параллельной прямой

Вычислить:

д) синус угла между прямой и плоскостью

е) косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью

Решение:

а) Используя формулу (11), составляем уравнение плоскости

откуда

б) Учитывая уравнения прямой, проходящей через две точки (см. формулу (12)), уравнения прямой можно записать в виде

в) Из условия перпендикулярности прямой и плоскостиследует, что в качестве направляющего вектора прямойможно взять нормальный векторплоскостиТогда уравнение прямойс учетом уравнений (13) запишется в виде

г) Так как прямая параллельна прямойто их направляющие векторыиможно считать совпадающими:Следовательно, уравнение прямойимеет вид

д) По формуле (20)

е) В соответствии с формулой (5)

2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и параллельно прямой, проведенной через точки и .

Решение:

Согласно формуле (12), уравнение прямой имеет вид

Если плоскость проходит через точку , то ее уравнение можно записать в виде . Так как эта плоскость проходит и через точку , то выполняется условие

или .

Поскольку искомая плоскость параллельна найденной прямой , то с учетом условия параллельности (21) имеем:

или .

Решая систему

находим, что ,. Подставив полученные значения и в уравнение искомой плоскости, имеем

Так как , то полученное уравнение эквивалентно уравнению

3. Найти координаты точки, симметричной точкеотносительно плоскости.

Решение:

Запишем параметрические уравнения прямой , перпендикулярной к данной плоскости:

.

Решив их совместно с уравнением данной плоскости, найдем и, следовательно, точкупересечения прямойс данной плоскостью:. Так как точкаявляется серединой отрезка, то верны равенства:

,

из которых находим координаты точки .

149