3. Декартовы прямоугольные координаты точки. Простейшие задачи аналитической геометрии.

Говорят, что в трехмерном пространстве введена декартова прямоугольная система координат , если заданы:

1) некоторая точка 0, называемая началом координат;

2) некоторый прямоугольный базис в множестве всех геометрических векторов.

Оси и, проведенные через точкув направлении базисных ортови, называются координатными осями системы координат.

Если – произвольная точка пространства, то направленный отрезокназывается радиус-вектором точки. Координатами точкив системеназываются координаты ее радиус-векторакак геометрического вектора в базисе, т.е.

.

Если и– две произвольные точки в пространстве, то координаты вектораравны

. (4)

Отсюда на основании (3) расстояние между точками выражается формулой

.

При решении задач аналитической геометрии целесообразно максимально использовать методы векторной алгебры.

Пример 1. Заданы вершины и точкапересечения медиан треугольника. Найти координаты вершины.

Решение:

Так как координаты вершины заданы, то для вычисления координат вершиныдостаточно найти координаты вектора. Пусть– медиана, проведенная из вершины. Тогда

(5)

(здесь использован тот факт, что точка делит медианув отношении). Далее, из условий задачи с помощью формулы (4) вычисляем координаты векторови, откуда на основании (5) получаеми, наконец, вновь используя формулу (4), находим координаты точки:

;

;

.

Пусть на прямой заданы точкии, причем. Рассмотрим векторыи. Так как они коллинеарны, то найдется такое действительное число, что. Числоназывается отношением, в котором точкаделит направленный отрезок, причем оно положительно, если точканаходится внутри отрезка, отрицательно, еслинаходится вне, и равно 0, если.

Пример 2. Зная координаты точек ии отношение, в котором точкаделит направленный отрезок, найти координаты точки.

Решение: Пусть – начало координат. Обозначим:. Так как

,

то

,

Откуда (так как )

.

Полученная формула и дает решение задачи в векторной форме.

Переходя в этой формуле к координатам, получим

. (6)

Пример 3. Даны вершины треугольника ,и. Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине.

Решение. Найдем разложение вектора по базису из векторови.

Пусть и–орты векторови. Тогда векторсонаправлен с вектором(ср. с задачей 2.47), т.е. существует числотакое, что

. (7)

С другой стороны,

(8)

Формулы (7) и (8) представляют собой два разложения вектора по базису из векторови. В силу единственности разложения вектора по базису имеем

и. (9)

Решая систему (9), находим

,

Так что формула (7) принимает вид

. (10)

Из условий задачи находим:

и и, и на основании (10) получаем

,

откуда

и .

4. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением ненулевых векторов иназывается число

.

Для скалярного произведения наряду с обозначением используется также обозначение.

Геометрические свойства скалярного произведения:

1) (условие перпендикулярности векторов);

2) если , то

.

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1) ;

2) ;

3) .

Если векторы ипредставлены своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведение равно

.

Из этой формулы, в частности, следует формула для определения косинуса угла между векторами

.