Практическое занятие 4

Векторная алгебра

Скалярное произведение векторов

Задания:

4.1. Доказать равенства:

1) ; 2).

Каков их геометрический смысл?

4.2.

1) и– медианы треугольника. Доказать равенство.

2) и– медианы треугольника. Выразить черезивекторыи.

3) В параллелограмме обозначены:. Выразить черезивекторыи, гдеточка пересечения диагоналей параллелограмма.

4) В треугольнике и. Полагаяи, выразитьичерез векторыи.

5) – правильный шестиугольник, причем,. Выразить черезивекторыи.

Ответ:

2) ;;.

3) ;;;.

4) ;.

5) ;;;;.

4.3.

1) – точка пересечения медиан треугольника,– произвольная точка пространства. Доказать равенство.

2) В пространстве заданы треугольники и;и– точки пересечения их медиан. Выразить векторчерез векторыи.

3) Точки и– середины стороничетырехугольника. Доказать, что. Вывести отсюда теорему о средней линии трапеции.

4) В трапеции отношение длины основанияк длине основанияравно. Полагаяи, выразить черезивекторыи.

Ответ:

2) .

4) ;;;.

4.4. В треугольнике и.

1) При каком соотношении между ивекторыиколлинеарны.

2) Пусть итаковы, что векторыинеколлинеарны. Полагаяи, выразить векторыичерези.

Ответ:

1) ; 2);.

4.5. Заданы векторы и. Вычислить:

1) и координаты ортавектора;

2) ;

3) координату вектора;

4) .

Ответ: 1) ; 2); 3); 4) 0.

4.6. Заданы векторы . Найти:

1) координаты орта ;

2) координаты вектора ;

3) разложение вектора по базису;

4) .

Ответ: 1) ; 2); 3); 4) 6.

4.7.

1) Найти координаты орта , если.

2) Найти , еслии.

3) Найти длину и направляющие косинусы вектора , если,,.

4) Найти вектор , коллинеарный вектору, образующий с ортомострый угол и имеющий длину.

5) Найти вектор , образующий со всеми тремя базисными ортами равные острые углы, если.

6) Найти вектор , образующий с ортомугол, с ортом–угол, если.

Ответ: 1) ; 2) ;

3)

.

4) ; 5) ;

6) .

4.8.

1) При каких значениях ивекторыиколлинеарны?

2) Найти вектор , направленный по биссектрисе угла между векторамии, если.

Ответ: 1) ; 2) .

4.9.

1) Даны три вершиныипараллелограмма. Найти его четвертую вершину, противоположную.

2) Даны две смежные вершины параллелограмма и точка пересечения его диагоналей. Найти две другие вершины.

3) Определить координаты вершин треугольника, если известны середины его сторон: .

Ответ: 1) ; 2) ;

3) .

4.10.

1) На оси абсцисс найти точку , расстояние от которой до точкиравно 5.

2) На оси ординат найти точку , равноудаленную от точеки.

3) Даны вершины треугольника ,и. Найти длину медианы, проведенной из вершины.

4) Отрезок с концами в точках иразделен на три равные части. Найти координаты точек деления.

5) Определить координаты концов отрезка, который точками иразделен на три равные части.

Ответ: 1) ; 2);

3) 7; 4) (4,0) и (5,2) 5) (–1,2,4) и (8,–4,–2).

4.11. .Вычислить:

1) ; 2); 3).

Ответ: 1) 9; 2) –61; 3) 13.

4.12. Определить, при каком значении векторыибудут перпендикулярны.

Ответ: .

4.13. Вычислить длину диагоналей параллелограмма, построенного на векторах , если известно, чтои.

Ответ: 15, .

4.14.

1) Определить угол между векторами и, если известно, чтои.

2) Зная, что и, вычислить.

Ответ: 1) ; 2) –13.

4.15. Даны векторы и. Вычислить:

1) ; 2); 3); 4);

5) ; 6); 7) направляющие косинусы вектора;

8) ; 9).

Ответ: 1) 22; 2) –200; 3) 41;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ;

8) ; 9) .

4.16. Даны точки и. На оси абсцисс найти такую точку, чтобы.

Ответ: .

4.17. Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами и.

Ответ: ,,,,.

4.18. Для заданных векторов ивычислить:

1) ;

2) .

Ответ: 1) ; 2).

4.19. Доказать, что четырехугольник с вершинами и– квадрат.

4.20. Найти косинус угла между диагоналямиипараллелограмма, если заданы три его вершиныи.

Ответ: .

4.21. Вычислить работу силы при перемещении материальной точки из положенияв положение.

Ответ: 4.

4.22. Даны векторы и. Найти косинус угла между векторамии, удовлетворяющими системе уравнений.

Ответ: .

4.23. Векторы иимеют равные длины и образуют попарно равные углы. Найти координаты вектора, если.

Ответ: или.

4.24. и .Вычислить:

1) ; 2); 3).

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

4.25. Какому условию должны удовлетворять векторы и ,чтобы векторы ибыли коллинеарны?

Ответ: , т.е..