Практические занятия матем / Практическое занятие 11
.docПрактическое занятие 11
Пределы
Задания:
Написать первые пять членов последовательности:
11.1. 1)
. 2)
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.2. 1)
. 2)
.
Ответ:
. Ответ:
.
Написать формулу общего члена последовательности:
11.3.
11.6.
Ответ:
. Ответ:
.
11.4.
11.7.
Ответ:
. Ответ:
.
11.5.
Ответ:
.
В задачах 11.8-11.13
требуется найти наибольший (наименьший)
член ограниченной сверху (снизу)
последовательности
.
11.8.
. 11.11.
.
Ответ: наибольший
член
. Ответ:
наибольший
член
.
11.9.
.
11.12.
.
Ответ: наибольший
член
.
Ответ: наименьший
член
.
11.10.
.
11.13.
.
Ответ: наименьший
член
.
Ответ: наименьший
член
.
Вычислить пределы:
11.14.
. 11.18.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.15.
. 11.19.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.16.
. 11.20.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.17.
. 11.21.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.22.
. Ответ:
.
11.23.
. Ответ:
.
11.24.
. Ответ:
.
11.25.
. Ответ:
.
11.26.
. Ответ:
.
11.27.
. Ответ:
.
11.28.
. Ответ:
.
Вычислить пределы следующих рациональных выражений:
11.29.
. 11.37.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.30.
. 11.38.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.31.
. 11.39.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.32.
. 11.40.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.33.
. Ответ:
.
11.34.
. Ответ:
.
11.35.
. Ответ:
.
11.36.
. Ответ:
.
11.41.
. Ответ:
.
11.42.
. Ответ:
.
11.43.
. Ответ:
.
Вычислить пределы:
11.44.
. 11.52.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.45.
. 11.53.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.46.
. 11.54.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.47.
. 11.55.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.48.
. 11.56.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.49.
. 11.57.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.50.
. 11.58.
.
Ответ:
. Ответ:
.
11.51.
. Ответ:
.
Дополнительные сведения.
1. Понятие последовательности.
Последовательностью
действительных чисел называется функция
,
определенная на множестве всех натуральных
чисел. Число
называется
-м
членом последовательности и обозначается
символом
,
а формула
называется формулой общего члена
последовательности
.
2. Предел последовательности.
Число
называется пределом числовой
последовательности
,
если для любого
существует
,
такое что для всех
,
где
– целое, выполняется неравенство
.
Если
– предел последовательности
,
то это записывается так:
.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Пример 1. Дана
последовательность
.
Доказать, что ее предел
.
Попытаемся доказать,
что для любого
существует
,
такое, что для всех
будет выполняться неравенство
.
Решив последнее
неравенство, получим
,
следовательно,
,
где
– целая часть числа
.
Таким образом, существует
,
такое, что для любого
выполняется
.
3. Предел функции.
Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
.
Тогда число
называется пределом функции
при
(в точке
),
если для любого
существует
,
такое, что при
справедливо неравенство
.
Если
– предел функции
при
,
то пишут:
.
В самой точке
функция
может и не существовать
не определена). Аналогично запись
обозначает, что для любого
существует
,
такое, что при
выполняется неравенство
.
Если существует
предел вида
,
который обозначают также
или
,
то он называется пределом слева функции
в точке
.
Аналогично, если существует предел вида
(в другой записи
или
),
то он называется пределом справа функции
в точке
.
Пределы слева и справа называются
односторонними. Для существования
предела функции
в точке
необходимо и достаточно, чтобы оба
односторонних предела в точке
существовали и были равны, т.е.
.
Практическое вычисление пределов основывается на следующих теоремах.
Если существуют
и
,
то
1)
;
2)
;
3)
;
(Все записи верны
и при
).
Если условия этих
теорем не выполняются, то могут возникнуть
неопределенности вида
и др., которые в простейших случаях
раскрываются с помощью алгебраических
преобразований.
Пример
2. Найти
.
Имеем неопределенность
вида
.
Чтобы раскрыть ее, приведем выражение
в скобках к общему знаменателю. Получим
,
т.е. неопределенность вида
,
которая легко раскрывается, если под
знаком предела сократить дробь на общий
множитель
.
В итоге исходный предел сводится к
.
Пример
3. Найти
.
Имеем неопределенность
вида
.
Чтобы раскрыть ее, разделим числитель
и знаменатель дроби под знаком предела
на
.
Получим
.
Знаменатель
полученной дроби при
не равен нулю, следовательно, можно
применить теорему о пределе частного.
Также применимы и другие теоремы о
пределах, что в итоге приводит к равенству
.
Пример
4.
.
Так как
,
то числитель дроби стремится к числу
,
а знаменатель – к числу
.
Следовательно,
.
Пример
5.
.
Числитель и
знаменатель дроби неограниченно
возрастают при
.
В таком случае говорят, что имеет место
неопределенность вида
.
Разделив на
числитель и знаменатель дроби, получаем
,
так как при
каждая из дробей
и
стремится к нулю.
Пример 6.
.
Здесь числитель
и знаменатель дроби при
стремятся к нулю (неопределенность вида
).
Имеем
;
если
,
то
.
Но при
дробь
стремится к числу
.
Итак,
.
Пример
7.
.
Здесь имеет место
неопределенность вида
.
Разложим на множители числитель и
знаменатель дроби:
.
Домашние задания к практическому занятию № 11.
1. Найти указанные пределы:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
; 16)
;
17)
; 18)
;
19)
; 20)
;
21)
; 22)
;
23)
; 24)
;
25)
; 26)
;
27)
; 28)
;
29)
; 30)
.
2. Найти указанные пределы:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;
9)
; 10)
;
11)
; 12)
;
13)
; 14)
;
15)
; 16)
;
17)
; 18)
;
19)
; 20)
;
21)
; 22)
;
23)
; 24)
;
25)
; 26)
;
27)
; 28)
;
29)
; 30)
.
3. Найти указанные пределы:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
;
7)
; 8)
;