Практическое занятие 17 Исследование функций и построение графиков
Задания:
17.1.
Написать уравнения касательной и нормали
к графику функции
в данной точке, если:
1)
Ответ:
2)
Ответ:
3)
Ответ:
4)
Ответ:
5)
Ответ:
6)
Ответ:
17.2.
Написать уравнения касательной и нормали
в точке
к кривой
Ответ:
17.3. Написать
уравнения касательных к кривой
в начале координат и в точке
Ответ:
.
17.4.
Написать уравнения касательной и нормали
к кривой
в точке с ординатой
Ответ:
17.5. Написать
уравнение касательной к кривой
в точке
Ответ:
17.6.
Под каким углом график функции
пересекает прямую
Ответ:
.
17.7. В
какой точке
кривой
касательная
перпендикулярна к прямой
Ответ:
17.8.
Закон движения материальной точки по
прямой имеет вид
1) В какие моменты времени точка находится в начале координат?
Ответ:
2) В какие моменты
времени направление ее движения совпадает
с положительным направлением оси
Ответ:
;
3) В какие моменты времени ее ускорение равно нулю?
Ответ:
17.9.
Тело массой
движется прямолинейно по закону
Определить кинетическую энергию тела
в момент времени
Ответ: 242.
17.10.
В какой момент
надо устранить действие сил, чтобы
точка, участвующая в гармоническом
колебании
продолжала двигаться равномерно со
скоростью
Ответ:
17.11.
Точка движется по логарифмической
спирали
Найти скорость изменения полярного
радиуса, если известно, что он вращается
с постоянной скоростью
Ответ:
17.12. Для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания и точки экстремума:
1)
Ответ:
на
и
убывает, на
возрастает;
2)
Ответ:
на
и
возрастает, на
и
убывает;
3)
Ответ:
на
и
убывает, на
возрастает;
4)
Ответ:
на
убывает, на
возрастает;
5)
Ответ:
на
убывает. на
возрастает;
6)
Ответ: возрастает во всей области определения.
7)
Ответ:
на
возрастает, на убывает;
8)
Ответ:
на
убывает, на
возрастает
9)
Ответ:
на
убывает, на
возрастает;
17.13.
Определить наибольшее
и наименьшее
значения следующих функций на указанных
отрезках (а если отрезок не указан, то
во всей области определения):
1)
Ответ:
2)
Ответ:
3)
Ответ:
4)
Ответ:
5)
Ответ:
6)
Ответ:
7)
Ответ:
8)
Ответ:
17.14.
Цилиндр вписан в конус высотой
и радиусом основания
.
Найти наибольший объем вписанного
цилиндра.
Ответ:
17.15.
Найти
наименьший объем конуса, описанного
около шара радиуса
.
Ответ:
17.16.
Найти
наибольший объем конуса при заданной
длине
его образующей.
Ответ:
17.17.
Определить
наибольшую площадь прямоугольника,
вписанного в круг радиуса
.
Ответ:
17.18.
На параболе
найти точку
,
наименее удаленную от прямой
.
Ответ:
.
17.19.
В полукруг
радиуса
вписан прямоугольник с наибольшей
площадью. Определить его основание
и высоту
.
Ответ:
.
17.20.
Найти
интервалы выпуклости графика функции
,
точки перегиба и угловые коэффициенты
касательных в точках перегиба:
1)
.
Ответ:1)
на
– выпуклость вверх, на
– выпуклость вниз,
– точка перегиба,
.
2)
Ответ: график всюду выпуклый вниз.
3)
Ответ:
на
– выпуклость вверх, на
– выпуклость вниз,
– точка перегиба,
.
4)
Ответ:
на
и
– выпуклость вниз, на
– выпуклость вверх,
и
– точки перегиба,
.
5)
Ответ: график всюду выпуклый вверх.
6)
Ответ: на
выпуклость вверх, на
– выпуклость вниз,
– точка перегиба,
.
7)
Ответ:
на
– выпуклость вверх на
– выпуклость вниз,
– точка перегиба,
.
8)
Ответ: на
– выпуклость вверх, на
– выпуклость вниз,
– точка перегиба,
.
17.21. При
каких значениях
и
точка
является точкой перегиба кривой
?
Ответ:
.
17.22. Найти асимптоты графиков указанных функций:
1)
Ответ:
.
2)
Ответ:
.
3)
Ответ:
(правая),
(левая).
4)
Ответ:
(правая),
(левая).
5)
Ответ:
(правая).
6)
Ответ:
.
17.23. Построить графики следующих функций:
1)
Ответ:
и
– точки перегиба;
2)
Ответ:
и
– точки перегиба;
3)
Ответ:
и
– точки перегиба;
4)
Ответ:
– точка перегиба и
– асимптоты;
5)
Ответ:
– тачка перегиба,
и
– асимптоты;
6)
Ответ:
– точка перегиба,
и
асимптоты;
7)
Ответ:
– точка перегиба,
и
асимптоты;
8)
Ответ:
– точка перегиба,
и
– асимптоты;
9)
Ответ:
– точка перегиба,
и
асимптоты;
10)
Ответ:
и
– точки перегиба,
и
асимптоты;
11)
Ответ:
– точка перегиба,
и
асимптоты;
12)
Ответ:
– точка перегиба,
– асимптоты;
13)
Ответ:
– точка перегиба,
и
– асимптоты;
14)
Ответ:
– точка перегиба,
– асимптота;
15)
Ответ:
и
– точки перегиба,
и
– асимптоты;
16)
Ответ:
– точки перегиба,
– асимптота;
17)
Ответ:
и
– точки перегиба;
18)
Ответ:
;
19)
Ответ:
– точка перегиба,
,
и
– асимптоты;
20)
Ответ:
и
– точки перегиба,
– асимптота;
21)
Ответ:
и
– точки перегиба;
22)
Ответ:
и
– точки перегиба,
– асимптота;
23)
Ответ:
и
– точки перегиба,
– асимптота;
24)
Ответ:
– точка перегиба,
– левая асимптота,
– правая асимптота.
25)
Ответ:
,
– точка перегиба,
– асимптота;
26)
Ответ:
,
– точка перегиба,
и
– асимптоты;
27)
Ответ:
,
и
– точки перегиба,
и
– асимптоты;
28)
Ответ:
,
– точка перегиба,
– правая асимптота,
– левая асимптота;
29)
Ответ:
и
– точки перегиба,
,
– асимптоты;
30)
Ответ:
,
– точка перегиба,
и
– асимптоты;
31)
Ответ:
,
,
–
точки перегиба,
– асимптота,
– правая асимптота,
– левая асимптота;
32)
Ответ:
,
– асимптоты,
– правая асимптота,
– левая асимптота;
33)
Ответ:
;
34)
Ответ:
,
– точки перегиба;
17.24. Построить кривые, заданные параметрически:
1)
2)
3)
4)
17.25. Построить следующие кривые, заданные в полярной системе координат:
1)
2)
3)
4)