Практические занятия матем / Практическое занятие 12
.docПрактическое занятие 12
Замечательные пределы.
Бесконечно большие и бесконечно малые функции
Задания:
Используя замечательный предел (1), вычислить:
12.1.
. 12.2.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.3.
. 12.4.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.5.
. 12.6.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.7.
. 12.8.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.9.
. 12.10.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.11.
. 12.12.
.
Ответ:
при
,
Ответ:
.
1 при
,
при
.
12.13.
. 12.14.
.
Ответ:
. Ответ:
.
Доказать следующие соотношения:
12.15.
.
12.16.
.
12.17.
.
Используя замечательный предел (2), а также результаты задач 12.15 – 12.17, вычислить пределы:
12.18.
. 12.19.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.20.
. 12.21.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.22.
. 12.23.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.24.
. 12.25.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.26.
. 12.27.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.28.
. 12.29.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.30.
. 12.31.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.32.
Доказать, что
в том и только в том случае, когда для
любой последовательности аргументов
сходящейся к
,
соответствующая последовательность
значений функции сходится к
.
12.33.
Определить порядок бесконечно малой
по сравнению с бесконечно малой
.
Ответ:
~
.
12.34.
Определить порядок бесконечно малой
по сравнению с бесконечно малой
.
Ответ:
.
12.35.
Определить порядок бесконечно малой
по сравнению с
при
.
Ответ:
.
12.36.
Сравнить бесконечно малые
и
,
если
.
Ответ:
.
12.37.
Сравнить бесконечно малые
и
,
если
и
рациональное
положительное число.
Ответ:
~
.
12.38. Сравнить
бесконечно малые
и
,
если
.
Ответ:
~
.
Найти следующие пределы:
12.39.
. 12.40.
.
Ответ:
. Ответ:
.
Указание: Заменить числитель и знаменатель эквивалентными бесконечно малыми.
12.41.
. 12.42.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.43.
. 12.44.
.
Ответ:
. Ответ:
.
Указание:
Представить
в виде
.
12.45.
. 12.46.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.47.
. 12.48.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.49.
. 12.50.
.
Ответ:
. Ответ:
.
Определить порядок
роста бесконечно большой
относительно
при
:
12.51.
. 12.54.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.52.
. 12.55.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.53.
. 12.56.
.
Ответ:
. Ответ:
.
Приближенно вычислить следующие выражения:
12.57.
. 12.59.
.
Ответ:
. Ответ:
.
12.58.
. 12.60.
.
Ответ:
. Ответ:
.
Дополнительные сведения
1. Бесконечно малые и бесконечно большие.
Функция
называется бесконечно малой при
,
если
.
Бесконечно малые
и
называются сравнимыми, если существует
хотя бы один из пределов
или
.
Пусть
и
– сравнимые бесконечно малые при
,
и пусть, для определенности, существует
.
Тогда:
а) Если
,
то
и
называют бесконечно малыми одного
порядка
.
В частности, при
бесконечно малые
и
называют эквивалентными и пишут
.
б) Если
,
то
называют бесконечно малой более высокого
порядка, чем
,
и пишут
.
Если при этом существует действительное
число
такое, что
,
то
называют бесконечно малой порядка
относительно
.
Функция
называется бесконечно большой при
,
если
.
Подобно тому как это сделано выше для
бесконечно малых, вводится понятие
сравнимых бесконечно больших и их
классификация.
Отметим некоторые свойства бесконечно малых:
.
Произведение
двух бесконечно малых есть бесконечно
малая высшего порядка по сравнению с
сомножителями, т.е. если
,
то
и
.
.
Бесконечно малые
и
эквивалентны тогда и только тогда, когда
их разность
является бесконечно малой высшего
порядка по сравнению с
и
,
т.е.
и
,
то
.
.
Если отношение двух бесконечно малых
имеет предел, то этот предел не изменится
при замене каждой из бесконечно малых
эквивалентной ей бесконечно малой, т.е.
если
,
,
,
то
.
Полезно иметь в
виду эквивалентность следующих бесконечно
малых: если
,
то
,
,
,
,
.
2. Два замечательных предела.
. (1)
. (2)
Пример 1. Найти
.
Решение:
Так как
под знаком предела, то
.
|
|
|
|---|---|
|
|
|
Пример 2. Найти
.
Решение: Имеем:
.
Положим
.
Тогда
и при
,
.
Пример 3. Вычислить
.
Решение: Имеем:
.
Так как
и
.
то
.
(здесь использована непрерывность композиции непрерывных функций).
Пример
4. Вычислить
.
Решение: Делением числителя дроби на знаменатель выделим целую часть:
.
Таким образом,
при
данная функция представляет собой
степень, основание которой стремится
к единице, а показатель – к бесконечности
(неопределенность вида
).
Преобразуя функцию так, чтобы использовать
второй замечательный предел, получим
.
Так как
при
,
то
.
Учитывая, что
,
находим
.
Пример 5. Найти
.
Решение:
Заменим числитель и знаменатель дроби
эквивалентными бесконечными малыми:
.
.
Тогда получим
.
Пример
6. Вычислить
.
Решение:
Так как
и
при
,
то
.
Пример 7.
Пусть
бесконечно малая. Сравнить бесконечно
малые
и
.
Решение:
Имеем
.
Так как предел отношения
и
есть число, отличное от нуля, то
и
– бесконечно малые одного и того же
порядка.
Пример 8.
Сравнить бесконечно малые
и
,
при
.
Решение:
Здесь
,
т.е.
.
Пример
9. Сравнить
бесконечно малые
и
,
при
.
Решение: Находим
,
т.е.
.
Домашнее задание к практическому занятию № 12.
1.
Доказать, что функции
и
при
являются бесконечно малыми одного
порядка малости.
1)
.
2)
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
.
7)
.
8)
.
9)
.
10)
.
11)
.
12)
.
13)
.
14)
.
15)
.
16).
.
17)
.
18)
.
19)
.
20)
.
21)
.
22)
23)
.
24)
.
25)
.
26)
.
27)
.
28)
.
29)
.
30)
.
2. Найти пределы, используя эквивалентные бесконечно малые функции.
1)
. 2)
.
3)
. 4)
.
5)
. 6)
.