Практические занятия матем / Практическое занятие 1

Практическое занятие 1

Определители

Задания:

1.1. Вычислить определители 2-го порядка:

1) 2) .

Ответ: 1) ; 2) 1.

1.2. Вычислить следующие определители, используя свойства определителя 3-го порядка:

1) 2)

3) 4)

Ответ: 1) 0; 2) 0; 3) 0; 4) 0.

1.3. Проверить, что определитель делится на и .

1.4. Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу:

1) 2)

3) 4)

Ответ: 1) –2; 2) –14; 3) 4 4) 0.

1.5.

1) 2)

3)

Ответ: 1)

2)

3)

1.6. Вычислить определители:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

Ответ: 1) 0; 2) 48; 3) 223; 4) ;

5) ;

6) ;

7) 394; 8) 665.

Дополнительные сведения

1. Определители второго порядка.

Определение 1. Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством . Числа называются элементами определителя.

2. Определители третьего порядка.

• Определение 2. Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством .

Чтобы запомнить, какие произведения в правой части равенства (1) берутся со знаком «+», а какие со знаком «–», полезно использовать следующее правило треугольников:

Рис. 1

3. Свойства определителей.

1. Величина определителя не изменится, если его строки и столбцы поменять местами, т.е.

2. Перестановка двух столбцов или двух строк определителя равносильна умножению его на .

3. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

4. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число равносильно умножению определителя на это число .

5. Если все элементы некоторого столбца или некоторой строки определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

6. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

7. Если каждый элемент го столбца (й строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в м столбце (й строке) имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой – вторые; элементы, стоящие на остальных местах, у всех трех определителей одни и те же.

8. Если к элементам некоторого столбца (строки) определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель , то величина определителя не изменится.

Минором некоторого элемента определителя называется определитель, получаемый из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент.

Например, минором элемента определителя является определитель второго порядка .

Алгебраическим дополнением некоторого элемента определителя называется минор этого элемента, умноженный на , где – сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Алгебраическое дополнение элемента обозначается такой же прописной буквой, что и сам элемент.

Например, если элемент находится на пересечении первого столбца и второй строки, то для него и алгебраическим дополнением является

.

9. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения, т.е.

Запись определителя в виде одного из равенств называется разложением его по элементам некоторого столбца или некоторой строки.

10. Сумма произведений элементов какого-нибудь столбца или какой-нибудь строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца или другой строки равна нулю.

Пример 1. Вычислить определители:

1) 2)

а) разложением по первой строке

б) по правилу треугольника

Решение:

1) .

2)

а) .

б) .

Домашнее задание к практическому занятию №1.

1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов , . Вычислить определитель:

а) разложив его по элементам i-строки;

б) разложив его по элементам j-го столбца;

в) получив предварительно нули в i-строке.

1) ;	2) ;
3) ;	4) ;
5) ;	6) ;
7) ;	8) ;
9) ;	10) ;
11) ;	12) ;
13) ;	14) ;
15) ;	16) ;
17) ;	18) ;
19) ;	20) ;
21) ;	22) ;
23) ;	24) ;
25) ;	26) ;
27) ;	28) ;
29) ;	30) .

Решение типового варианта

1. Для данного определителя найти миноры и алгебраические дополнения элементов .

Вычислить определитель :

а) разложив его по элементам первой строки;

б) разложив его по элементам второго столбца;

в) получив предварительно нули в первой строке.

Решение: Находим

,

.

Алгебраические дополнения элементов и соответственно равны:

а) Вычислим

б) Разложим определитель по элементам второго столбца:

в) Вычислим получив предварительно нули в первой строке. Используем свойство определителей. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на –2 и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом определитель по элементам первой строки и вычислим его:

В определителе третьего порядка получили нуль в первом столбце, вычитая из первой строки вторую, умноженную на 5.

12