Практическое занятие 5 Векторное и смешанное произведение векторов
Задания:
5.1. Упростить выражение:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Ответ:
1)
; 2)
; 3)
; 4)
3.
5.2.
1)
Доказать,
что
и выяснить геометрический смысл этого
тождества.
2)
.
Вычислить площадь треугольника,
построенного на векторах
и
.
3) Векторы
и
связаны условием
.
Доказать, что
.
Каков геометрический смысл этого
результата?
4) Доказать, что
при любых векторах
и
векторы
компланарны.
Ответ:
2)
.
5.3.
.
Выразить через векторы
и
единичный вектор
,
перпендикулярный векторам
и
и такой, что:
1) тройка
правая;
2) тройка
левая.
Ответ:
1)
; 2)
.
5.4.
Заданы
векторы
и
.
Найти координаты векторов:
1)
; 2)
; 3)
.
Ответ:
1)
; 2)
; 3)
.
5.5.
1)
Вычислить
площадь треугольника с вершинами
,
и
.
2) В треугольнике
с вершинами
,
и
найти высоту
.
3) Определить, при
каких значениях
и
вектор
будет коллинеарен вектору
,
если
.
4) Для заданных
векторов
вычислить проекцию вектора
на вектор
.
5) Для заданных векторов вычислить проекцию вектора на вектор .
6) Найти вектор
,
если
.
7) Найти вектор , если , , .
8) Три ненулевых
вектора
,
и
связаны соотношениями
,
,
.
Найти длины этих векторов и углы между
ними.
Ответ:
1)
; 2)
5; 3)
; 4)
;
5)
; 6)
; 7)
(5,16,7); 8)
векторы попарно перпендикулярны.
5.6.
1) Сила
приложена к точке
.
Определить момент этой силы относительно
точки
.
2) Даны три силы:
,
и
,
приложенные к точке
.
Определить величину и направляющие
косинусы момента равнодействующей этих
сил относительно точки
.
3) Вычислить площадь
параллелограмма, диагоналями которого
служат векторы
и
,
где
и
– единичные векторы
.
4) Найти координаты
вектора
,
если известно, что он перпендикулярен
векторам
и
,
образует с ортом
тупой угол и
.
5) Найти координаты
вектора
,
если он перпендикулярен векторам
и
,
а также удовлетворяет условию
.
Ответ: 1)
;
2)
,
;
3)
; 4)
(–6,–24,8); 5) (7,5,1).
5.7.
При каких условиях уравнение
имеет решение относительно
?
Сколько существует решений?
Ответ:
,
бесконечное множество решений;
5.8.
Вектор
называется двойным векторным произведением
заданных векторов. Доказать, что
справедливо равенство
.
5.9.
1) Векторы
образуют правую тройку, взаимно
перпендикулярны и
,
,
.
Вычислить
.
2) Векторы
образуют левую тройку,
,
,
и
;
.
Найти
.
3) Заданы векторы
,
и
.
Вычислить
.
Какова ориентация троек:
а)
; б)
; в)
?
Ответ:
1) 24; 2)
;
3) –7; а) левая; б) правая; в) правая.
5.10.
Установить,
образуют ли векторы
,
и
базис в множестве всех векторов, если:
1)
;
2)
.
Ответ: 1) нет; 2) да.
5.11.
1) Доказать, что
;
в каком случае имеет место знак равенства?
2) Доказать, что
при любых
,
и
векторы
,
и
компланарны. Каков геометрический смысл
этого факта?
3) Доказать тождество
.
4) Доказать, что
если
,
причем хотя бы одно из чисел
и
отличны от нуля, то векторы
,
и
компланарны.
5.12.
1) Вычислить объем
тетраэдра
,
если
,
,
.
2) Вычислить объем
тетраэдра с вершинами в точках
,
,
и
.
3) В тетраэдре с
вершинами в точках
,
,
и
вычислить высоту
.
Ответ:
1)
; 2)
6; 3)
.
5.13. Проверить, компланарны ли данные векторы:
1)
;
2)
.
Ответ: 1) да; 2) нет.
5.14.
При каком
векторы
,
и
будут компланарны?
1)
;
2)
.
Ответ:
1) –3; 2)
при любом
.
5.15.
Доказать, что четыре точки
,
,
и
лежат в одной плоскости.
5.16.
Найти координаты четвертой вершины
тетраэдра
,
если известно, что он лежит на оси
,
а объем тетраэдра равен
:
1)
,
,
,
;
2)
,
,
,
.
Ответ: 1) (0,0,0); 2) (0,1,0).
5.17. Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному объему данного параллелепипеда.
5.18. Доказать тождества:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.