Дополнительные задачи (занятия 8-10)
1. Через точку
провести хорду эллипса
,
делящуюся в этой точке пополам. (Ответ:
2. Доказать, что парабола обладает так называемым оптическим свойством: луч света, выйдя из фокуса и отразившись от параболы, пойдет по прямой, параллельной оси параболы.
3. Через точку
провести хорду гиперболы
,
делящуюся в этой точке пополам. (Ответ:
).
4. Найти радиус
наибольшей окружности, лежащей внутри
параболы
и касающейся этой параболы в ее вершине.
(Ответ:
).
5. Составить
уравнение гиперболы с асимптотами
,
касающейся прямой
.
(Ответ:
).
6. Составить
уравнение касательной к параболе
,
отрезок которой между точкой касания
и директрисой делится осью
пополам. (Ответ:
или
).
7. Доказать, что
все треугольники, образованные асимптотами
гиперболы и произвольной касательной
к ней, имеют одну и ту же площадь; выразить
эту площадь через полуоси гиперболы.
(Ответ:
).
8. Составить
уравнения касательных к параболе
,
проходящих через точку
,
и вычислить площадь треугольника,
образованного касательными и директрисой
параболы. (Ответ:
).
9. Источник
короткоинтервального звука находиться
в неизвестном пункте
.
Звук достиг трех наблюдательных пунктов
неодновременно: пункта
–на
с позже, а пункта
–на
с позже, чем пункта
.
Определить местонахождение пункта
,
приняв скорость звука равной
.
(Ответ:
находится на пересечении правой ветви
гиперболы
м с фокусами
и
и левой ветви гиперболы)
м с фокусами
и
).
10. Цепь подвесного
моста имеет форму параболы
.
Длина пролета моста – 50м, а прогиб цепи
– 5м. Определить величину угла
прогиба в крайней точке моста. (Ответ:
).
11. Зеркальная поверхность прожектора образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии. Диаметр зеркала 80 см, а глубина его 20 см. На каком расстоянии от вершины параболы нужно поместить источник света, если для отражения лучей параллельным пучком он должен быть в фокусе параболы? (Ответ: 40 см).
12. Даны точка
и прямая
,
находящаяся от точки
на расстоянии
.
Вокруг точки
вращается луч, пересекающий прямую
в переменной точке
.
На этом луче от точки
откладывается отрезок
так, что
.
Найти уравнение линии, которая описывается
точкой
при вращении луча. Уравнение записать
в полярных и декартовых координатах.
(Ответ: окружность:
).
13. Записать
параметрические уравнения линии
пересечения сферы
и круглого цилиндра
,
выбирая в качестве параметра угол
,
образованный проекцией радиуса-вектора
произвольной точки
линии на плоскость
с положительным направлением оси
.
(Ответ:
).
14. Найти уравнение
проекции линии пересечения поверхностей
и
на плоскость
.
(Ответ:
).
15. Найти центр
сечения гиперболоида
плоскостью
.
(Ответ: (4,2,-2).).
16. Найти уравнение
плоскости, пересекающей эллипсоид
по эллипсу, центр которого находится в
точке
.
(Ответ:
).
17. Найти уравнение
плоскости, проходящей через точки
и
и пересекающей параболоид
по паре прямых. (Ответ:
).