Практическое занятие 10.

Поверхности второго порядка

Задания:

10.1. Найти центр и радиус сферы, заданной уравнением .

Ответ: .

10.2. Найти точки пересечения прямой

и сферы .

Указание. Перейти к параметрическим уравнениям прямой и из уравнения сферы найти значения параметра , отвечающие искомым точкам.

Составить уравнение поверхностей, образованных вращением следующих линий (сделать чертеж).

10.3. 10.6.

вокруг оси вокруг оси

Ответ: . Ответ:.

10.4. 10.7.

вокруг оси вокруг оси

Ответ: . Ответ:.

10.5. 10.8.

вокруг оси вокруг осейи.

Ответ: . Ответ:

и .

Какие поверхности определяются следующими уравнениями (сделать чертеж):

10.9. .

Ответ: круговой цилиндр.

10.10. .

Ответ: образующая , гиперболический цилиндр.

10.11. .

Ответ: образующая , параболический цилиндр.

10.12. .

Ответ: образующая , пара плоскостей.

10.13. .

Ответ: гиперболический цилиндр.

10.14. .

Ответ: параболический цилиндр.

10.15.

Ответ: эллиптический цилиндр.

10.16. .

Ответ: круговой цилиндр.

Дополнительные сведения.

1. Сфера.

Сферой называется множество точек пространства, равноудаленных от некоторой фиксированной точки . Уравнение сферы радиусас центром в точкеимеет вид

. (1)

В частности, наиболее простой вид это уравнение принимает в том случае, когда центр сферы находится в начале координат

. (2)

Общее уравнение сферы имеет вид

.

Оно приводится к виду (1) делением на и выделением полных квадратов по.

Пример 1. Найти центр и радиус сферы, заданной уравнением

.

Решение:

Разделим уравнение на 2

.

Выделяем полные квадраты

,

т.е.

.

Сравнивая это уравнение с (1), найдем центр сферы и ее радиус.

2. Цилиндрические поверхности

Поверхность, описываемая прямой, остающейся параллельной некоторой данной прямой и пересекающей данную линию, называетсяцилиндрической поверхностью. Линия называется ее направляющей, а каждое положение движущейся прямой –образующей. Всегда можно выбрать систему координат так, чтобы прямая совпадала с одной из координатных осей.

Уравнение цилиндрической поверхности (рис.1) с образующими, параллельными оси , не содержит, т.е. имеет вид

. (3)

Уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси или оси, имеет вид

, (4)

или соответственно,

. (5)

В качестве направляющей поверхности (3) можно взять ее линию пересечения с плоскостью. Уравнения этой направляющей

Аналогично, направляющими цилиндрических поверхностей (4) и (5) являются линии

и

Рис.1

Рис.2

Если уравнение (3) является алгебраическим уравнением второй степени, то соответствующая цилиндрическая поверхность называется цилиндрической второго порядка. Различают следующие цилиндры второго порядка:

1. Эллиптический цилиндр (рис.2). Его простейшее уравнение

. (6)

Направляющей линией является эллипс на плоскости с полуосямии. В частности, приполучается круговой цилиндр.

2. Гиперболический цилиндр (рис.3). Простейшее уравнение

. (7)

Направляющей является гипербола на плоскости .

3. Параболический цилиндр (рис.4). Простейшее уравнение

. (8)

Направляющей является парабола на плоскости .

4. Пара плоскостей. В этом случае левая часть уравнения (70 распадается на произведение двух линейных множителей.

Рис.3

Рис.4

Пусть в пространстве задана линия как пересечение двух поверхностей

(9)

Исключая отсюда координату , получим уравнение вида

,

которое определяет цилиндрическую поверхность, проектирующую линию на плоскость.

Аналогично, чтобы получить уравнение цилиндра, проектирующего линию на плоскость(или), надо из уравнений (9) исключить координату(или).

Пример 2. Какую поверхность определяет уравнение

?

Решение:

Поскольку данное уравнение не содержит , то рассматриваемая поверхность является цилиндром с образующими, параллельными оси. Направляющая этого цилиндра

или

является окружностью с центром на оси в точкеи радиусом. Итак, данное уравнение определяет круговой цилиндр, ось которого идет по прямой.

Пример 3. Установить вид поверхности, заданной уравнением

.

Решение:

Данное уравнение не содержит , поэтому рассматриваемая поверхность есть цилиндр с образующими, параллельными оси. Его направляющая

или

есть парабола на плоскости с вершиной в точке, направленная в положительную сторону оси. Таким образом, рассматриваемая поверхность является параболическим цилиндром.