4. Парабола.

Парабола есть множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и от данной прямой, не проходящей через данную точку (директрисы), расположенных в той же плоскости (рис.5).

Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – расстояние от фокуса до директрисы.

Рис.5

При этом система координат выбрана так, что ось проходит перпендикулярно директрисе через фокус, положительное ее направление выбрано от директрисы в сторону фокуса. Ось ординат проходит параллельно директрисе, посередине между директрисой и фокусом, откуда уравнение директрисы, координаты фокуса. Начало координат является вершиной параболы, а ось абсцисс – ее осью симметрии. Эксцентриситет параболы.

В ряде случаев рассматриваются параболы, заданные уравнениями

а)

б) (для всех случаев)

в) .

а)	б)	в)
Рис.6

В случае а) парабола симметрична относительно оси и направлена в ее отрицательную сторону (рис.6).

В случаях б) и в) осью симметрии является ось (рис.6). Координаты фокусов для этих случаев:

а) б)в).

Уравнение директрис:

а) б)в).

Пример 4. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку и симметрична относительно оси. Написать ее уравнение.

Решение:

Так как парабола симметрична относительно оси и проходит через точкус положительной абсциссой, то она имеет вид, представленный на рис.5.

Подставляя координаты точки в уравнение такой параболы, получим, т.е..

Следовательно, искомое уравнение

,

фокус этой параболы , уравнение директрисы.

4. Преобразование уравнения линии второго порядка к каноническому виду.

Общее уравнение второй степени имеет вид

, (6)

где коэффициенты одновременно в нуль не обращаются.

Всякая определяемая уравнением (6) линия называется линией второго порядка. С помощью преобразования системы координат уравнение линии второго порядка может быть приведено к простейшему (каноническому) виду.

1. В уравнении (6) . В данном случае уравнение (6) имеет вид

. (7)

Оно преобразуется к простейшему виду с помощью параллельного переноса осей координат по формулам

(8)

где – координаты нового начала(в старой системе координат). Новые осиипараллельны старым. Точкаявляется центром эллипса или гиперболы и вершиной в случае параболы.

Приведение уравнения (7) к простейшему виду удобно делать методом выделения полных квадратов аналогично тому, как это делалось для окружности.

Пример 5. Уравнение линии второго порядка привести к простейшему виду. Определить вид и расположение этой линии. Найти координаты фокусов. Сделать чертеж.

Решение:

Группируем члены, содержащие только и только, вынося коэффициенты прииза скобку:

.

Дополняем выражения в скобках до полных квадратов:

Таким образом, данное уравнение преобразовано к виду

.

Обозначаем

или

Сравнивая с уравнениями (8), видим, что эти формулы определяют параллельный перенос осей координат в точку . В новой системе координат уравнение запишется так:

.

Перенося свободный член вправо и разделив на него, получим:

.

Итак, данная линия второго порядка есть эллипс с полуосями ,. Центр эллипса находится в новом начале координат, а его фокальная ось есть ось. Расстояние фокусов от центра, так что новые координаты правого фокуса. Старые координаты этого же фокуса находятся из формул параллельного переноса:

.

Аналогично, новые координаты левого фокуса ,. Его старые координаты:,.

Чтобы начертить данный эллипс, наносим на чертеж старые и новые координатные оси. По обе стороны от точки откладываем по осиотрезки длины, а по оси– длины; получив таким образом вершины эллипса, чертим сам эллипс (рис. 7).

Рис.7

Замечание. Для уточнения чертежа полезно найти точки пересечения данной линии (7) со старыми координатными осями. Для этого надо в формуле (7) положить сначала , а затеми решить получающиеся уравнения.

Появления комплексных корней будет означать, что линия (7) соответствующую координатную ось не пересекает.

Например, для эллипса только что разобранной задачи получаются такие уравнения:

.

Второе из этих уравнений имеет комплексные корни, так что эллипс ось не пересекает. Корни первого уравнения:

.

В точках иэллипс пересекает ось(рис.7).

Пример 6. Привести к простейшему виду уравнение линии второго порядка . Определить вид и расположении линии, найти координаты фокуса.

Решение:

Так как член с отсутствует, то надо выделить полный квадрат только по:

.

Выносим также за скобку коэффициент при

.

Обозначаем

или

Тем самым производится параллельный перенос системы координат в точку . После переноса уравнение примет вид

.

Рис.8

Отсюда следует, что данная линия есть парабола (рис.8), точка является ее вершиной. Парабола направлена в отрицательную сторону осии симметрична относительно этой оси. Величинадля нее равна.

Поэтому фокус имеет новые координаты

.

Его старые координаты

.

Если в данном уравнении положить или, то обнаружим, что парабола пересекает осьв точке, а осьона не пересекает.

2. В уравнении (1) . Общее уравнение (1) второй степени преобразуется к виду (2), т.е. к рассмотренному в п.1. случаю, с помощь поворота координатных осей на уголпо формулам

(9)

где – новые координаты. Уголнаходится из уравнения

(10)

Оси координат поворачиваются при этом так, чтобы новые оси ибыли параллельны осям симметрии линии второго порядка.

Зная , можно найтиипо формулам тригонометрии

, .

Если угол поворота условиться считать острым, то в этих формулах надо брать знак плюс, и длянадо взять также положительное решение уравнения (5).

В частности, при систему координат нужно повернуть на угол. Формулы поворота на уголимеют вид:

(11)

Пример 7. Уравнение линии второго порядка привести к простейшему виду. Установить вид и расположение этой линии.

Решение:

В данном случае ,¹,, поэтому угол поворотанаходится из уравнения

.

Решение этого уравнения и. Ограничиваясь острым углом, берем первое из них. Тогда

,

, .

Подставляя эти значения ив данное уравнение

,

или

.

Раскрывая скобки и приводя подобные, получим

.

Наконец, разделив на свободный член, придем к уравнению эллипса

.

Отсюда следует, что ,, причем большая ось эллипса направлена по оси, а малая – по оси.

Рис.9

Для построения этого эллипса нанесем на чертеж повернутые оси и. Для этого на осиотложим 1 единицу масштаба, и на оси– 2 единицы.

Получится точка , радиус которойнаклонен к осипод углом, для которого. Следовательно, через эту точкуи пройдет новая ось абсцисс. Затем отмечаем на осяхивершины эллипса и чертим эллипс (рис.9).

Заметим, что данный эллипс пересекает старые координатные оси в точках, которые находятся из квадратных уравнений (если в данном уравнении положить или):

и .

Отсюда

.