Практическое занятие 8 Линии второго порядка

Задания:

8.1. Найти центр и радиус окружности, проходящей через точки .

Ответ:

8.2. Привести к каноническому виду уравнение окружности

.

Ответ:

8.3. Исследовать уравнение .

Ответ:

8.4. Найти точки пересечения прямой и окружности.

Ответ:

8.5. Показать, что прямая и окружностьне пересекаются.

8.6. Построить эллипс . Найти:

1) полуоси, координаты фокусов; 2) эксцентриситет;

3) уравнения директрис.

Ответ: 1) ,; 2);

3) ,

8.7. Написать каноническое уравнение эллипса, если:

1) 2); 3); 4);5)и расстояние между директрисами равно 5; 6)и расстояние между директрисами равно 32.

Ответ: 1) ; 2); 3);

4) ; 5); 6).

8.8. Написать уравнение эллипса с полуосями ии центром в точке, если известно, что его главные оси параллельны координатным осям.

Ответ: .

8.9. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, найти его центр , полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис:

1) ;

2) ;

3)

Ответ:

1) ;

2) ;

3) .

8.10. Доказать следующие утверждения:

1) Если – произвольная точка эллипса, то фокальные радиусы этой точки равны,. Отсюда, в частности, следует, что для всякой точкиэллипса выполняется равенство.

2) Пусть заданы точки и. Тогда множество точек, удовлетворяющих условию, есть эллипс, где.

8.11. Доказать следующие утверждения:

Если – произвольная точка эллипса,и– фокальные радиусы этой точки, аи– ее расстояния до директрис, то выполняется равенство

.

8.12. Построить гиперболу . Найти: 1) полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.

Ответ: 1) ; 2) ; 3);

4) ; 5) .

8.13. Построить гиперболу .Какова каноническая система координат для этой гиперболы? Найти:

1) полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет;

4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.

Ответ: 1) ; 2) ; 3);

4) ; 5) .

8.14. Написать каноническое уравнение гиперболы, если:

1) ; 2); 3); 4); 5)и уравнения асимптот; 6)и расстояние между директрисами равно.

Ответ: 1) ; 2) ;

3) ; 4);

5) ; 6).

8.15. Написать уравнение гиперболы с полуосями ии центром в точке, если известно, что ее действительная и мнимая оси параллельны осямисоответственно.

Ответ: .

8.16. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:

1) ;

2) ;

3) .

Ответ: 1) ;

уравнение асимптот: и;

уравнения директрис: и;

2) ;

уравнение асимптот: и;

уравнения директрис: и;

3) ;

уравнение асимптот: и;

уравнения директрис: и.

8.17. Доказать следующие утверждения:

1) Если – произвольная точка гиперболы, то фокальные радиусы этой точки равны,, если точкалежит на правой ветви гиперболы, и,, если эта точка лежит на ее левой ветви. Отсюда, в частности, следует, что для всякой точкигиперболы выполняется равенство.

2) Пусть заданы точки и. Тогда множество точек, удовлетворяющих условию, есть гипербола, где.

8.18. Найти точки гиперболы , находящиеся на расстоянии 7 от фокуса.

Ответ: .

8.19. Написать уравнение гиперболы, если известно, что ее фокусами являются точки и, а расстояние между директрисами равно 3,6.

Ответ: .

8.20. Написать уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет , фокуси уравнение соответствующей директрисы.

Ответ: .

8.21. Показать, что кривая, заданная уравнением или, есть равносторонняя гипербола. Написать ее каноническое уравнение, найти эксцентриситет, фокусы и уравнения директрис.

Ответ:

.

8.22. Построить следующие параболы и найти их параметры:

1) ;

2) .

Ответ: 1) ; 2).

8.23. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:

1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси и;

2) парабола расположена симметрично относительно оси и проходит через точку;

3) фокус параболы находится в точке , ее осью служит ось.

Ответ: 1) ; 2) ; 3) .

8.24. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, найти координаты ее вершины и величину параметра:

1) ; 2);

3) ; 4);

5) ; 6).

Ответ: 1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

8.25. Доказать следующие утверждения:

1) Если – произвольная точка параболы,–ее фокальный радиус, а–расстояние от точкидо директрисы (см. рис.8), то выполняется равенство.

2) Пусть заданы точка и прямая:. Тогда множество точек, удовлетворяющих условию, есть парабола.

8.26. Вычислить фокальный радиус точки параболы, если.

Ответ: 6.

8.27. Написать уравнение параболы, если известны:

1) фокус и директриса;

2) фокус и директриса.

Ответ: 1) ; 2).