
Практическое занятие 8 Линии второго порядка
Задания:
8.1. Найти
центр и радиус окружности, проходящей
через точки
.
Ответ:
8.2. Привести к каноническому виду уравнение окружности
.
Ответ:
8.3.
Исследовать
уравнение
.
Ответ:
8.4.
Найти точки
пересечения прямой
и окружности
.
Ответ:
8.5.
Показать, что прямая
и окружность
не пересекаются.
8.6.
Построить
эллипс
.
Найти:
1) полуоси, координаты фокусов; 2) эксцентриситет;
3) уравнения директрис.
Ответ:
1)
,
; 2)
;
3)
,
8.7. Написать каноническое уравнение эллипса, если:
1)
2)
;
3)
;
4)
;5)
и расстояние между директрисами равно
5; 6)
и расстояние между директрисами равно
32.
Ответ:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
.
8.8.
Написать
уравнение эллипса с полуосями
и
и центром в точке
,
если известно, что его главные оси
параллельны координатным осям.
Ответ:
.
8.9.
Установить,
что каждое из следующих уравнений
определяет эллипс, найти его центр
,
полуоси, эксцентриситет и уравнения
директрис:
1)
;
2)
;
3)
Ответ:
1)
;
2)
;
3)
.
8.10. Доказать следующие утверждения:
1) Если
–
произвольная точка эллипса
,
то фокальные радиусы этой точки равны
,
.
Отсюда, в частности, следует, что для
всякой точки
эллипса выполняется равенство
.
2) Пусть заданы
точки
и
.
Тогда множество точек
,
удовлетворяющих условию
,
есть эллипс
,
где
.
8.11. Доказать следующие утверждения:
Если
–
произвольная точка эллипса
,
и
–
фокальные радиусы этой точки, а
и
–
ее расстояния до директрис, то выполняется
равенство
.
8.12.
Построить
гиперболу
.
Найти: 1) полуоси; 2) координаты фокусов;
3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот;
5) уравнения директрис.
Ответ:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
; 5)
.
8.13. Построить
гиперболу
.Какова
каноническая система координат для
этой гиперболы? Найти:
1) полуоси; 2) координаты фокусов; 3) эксцентриситет;
4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
Ответ:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
; 5)
.
8.14. Написать каноническое уравнение гиперболы, если:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
и уравнения асимптот
;
6)
и расстояние между директрисами равно
.
Ответ:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
.
8.15.
Написать уравнение гиперболы с полуосями
и
и центром в точке
,
если известно, что ее действительная и
мнимая оси параллельны осям
и
соответственно.
Ответ:
.
8.16. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис:
1)
;
2)
;
3)
.
Ответ: 1)
;
уравнение
асимптот:
и
;
уравнения
директрис:
и
;
2)
;
уравнение
асимптот:
и
;
уравнения
директрис:
и
;
3)
;
уравнение
асимптот:
и
;
уравнения
директрис:
и
.
8.17. Доказать следующие утверждения:
1) Если
–
произвольная точка гиперболы
,
то фокальные радиусы этой точки равны
,
,
если точка
лежит на правой ветви гиперболы, и
,
,
если эта точка лежит на ее левой ветви.
Отсюда, в частности, следует, что для
всякой точки
гиперболы выполняется равенство
.
2) Пусть заданы
точки
и
.
Тогда множество точек
,
удовлетворяющих условию
,
есть гипербола
,
где
.
8.18.
Найти точки
гиперболы
,
находящиеся на расстоянии 7 от фокуса
.
Ответ:
.
8.19.
Написать
уравнение гиперболы, если известно, что
ее фокусами являются точки
и
,
а расстояние между директрисами равно
3,6.
Ответ:
.
8.20.
Написать уравнение гиперболы, если
известны ее эксцентриситет
,
фокус
и уравнение соответствующей директрисы
.
Ответ:
.
8.21.
Показать,
что кривая, заданная уравнением
или
,
есть равносторонняя гипербола. Написать
ее каноническое уравнение, найти
эксцентриситет, фокусы и уравнения
директрис.
Ответ:
.
8.22. Построить следующие параболы и найти их параметры:
1)
;
2)
.
Ответ:
1)
; 2)
.
8.23. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что:
1) парабола
расположена в левой полуплоскости
симметрично относительно оси
и
;
2) парабола
расположена симметрично относительно
оси
и проходит через точку
;
3) фокус параболы
находится в точке
,
ее осью служит ось
.
Ответ:
1)
; 2)
; 3)
.
8.24.
Установить,
что каждое из следующих уравнений
определяет параболу, найти координаты
ее вершины
и величину параметра
:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
.
Ответ:
1)
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
.
8.25. Доказать следующие утверждения:
1) Если
–
произвольная точка параболы
,
–ее
фокальный радиус, а
–расстояние
от точки
до директрисы (см. рис.8), то выполняется
равенство
.
2) Пусть заданы
точка
и прямая
:
.
Тогда множество точек
,
удовлетворяющих условию
,
есть парабола
.
8.26.
Вычислить
фокальный радиус точки
параболы
,
если
.
Ответ: 6.
8.27. Написать уравнение параболы, если известны:
1) фокус
и директриса
;
2) фокус
и директриса
.
Ответ:
1)
; 2)
.